hội tụ trong phân phối $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Xác định một chuỗi phân phối $u_n$.

Để cho $u_n\to u$ trong $D'(X)$ và giả sử chúng ta có một quy trình $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ như vậy mà $\varphi_n\to \varphi $ trong $C_c^\infty(X)$.

Chúng tôi có thể hiển thị $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Tôi biết chúng tôi có thể hiển thị $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ bất cứ gì $\phi\in C_c^\infty(X)$và $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ cho mỗi $n$.Làm thế nào để kết hợp chúng với nhau?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Nhưng không hẳn là hai biến giống nhau?

Answer 1

Tôi cho rằng $X$ là một tập hợp con mở của $\mathbb{R}^n$. Đối với bất kỳ tập hợp con nhỏ gọn nào$K$ của $X$, để cho $C_K^{\infty}(X)$ biểu thị không gian Frechet của tất cả $f \in C_c^{\infty}(X)$ như vậy mà $\text{supp}(f) \subset K$.

Định lý không tầm thường về sự hội tụ trong cấu trúc liên kết giới hạn quy nạp nghiêm ngặt của $C_c^{\infty}(X)$ ngụ ý rằng phải có $n_0 \geq1$ và một tập hợp con nhỏ gọn $K \subset X$ để mỗi $\varphi_n$ với $n \geq n_0$ và $\varphi$ bản thân nó thuộc về $C_{K}^{\infty}(X)$ và điều đó $\varphi_n \rightarrow \varphi$trong không gian này. Bản đồ hạn chế$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ liên tục đối với các cấu trúc liên kết sao yếu và do đó chuỗi các phân bố hạn chế $u_n|_{C_K^{\infty}}$ hội tụ với phân phối hạn chế $u|_{C_K^{\infty}}$ trong cấu trúc liên kết sao yếu trên $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Do đó, chúng tôi đã giảm vấn đề của mình để chứng minh rằng trong mọi không gian Frechet $V$, với mọi chuỗi vectơ hội tụ $\varphi_n \rightarrow \varphi$ và chuỗi hội tụ sao yếu của các hàm tuyến tính liên tục $\ell_n \rightarrow \ell$, chúng ta có $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ trong $\mathbb{C}$, như $n \rightarrow \infty$.

Bằng một mức giảm dễ dàng hơn nữa, nó đủ để chứng minh điều này trong trường hợp $\varphi=0$ và $\ell = 0$.

Điều này đến lượt nó tuân theo nguyên tắc giới hạn đồng nhất trong không gian Frechet, như được giải thích trong câu trả lời này . Định lý này ngụ ý rằng họ$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ được tự động tương đương liên tục, có nghĩa là, bất kỳ $\varepsilon >0$, có $U \subset X$ mở, $0\in U$, vì vậy mà cho tất cả $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ chúng ta có $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Vì vậy, đã cho$\varepsilon$, trước tiên hãy chọn như vậy $U$ và sau đó lấy $n$ đủ lớn để $\varphi_n \in U$.