Khi nào hình nón $C(X)$ trên một không gian nhỏ gọn cục bộ?
Có một số câu hỏi trong diễn đàn này giải quyết các trường hợp đặc biệt của câu hỏi này, ví dụ như câu hỏi này cho$X = \mathbb Z$và điều này cho$X = \mathbb R$. Câu hỏi của tôi là
Điều kiện cần và đủ về $X$ đảm bảo độ nén cục bộ của hình nón $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
Câu trả lời có thể phụ thuộc vào định nghĩa chính xác của độ chặt cục bộ. Đây là hai biến thể:
$X$ là cục bộ nhỏ gọn nếu mỗi $x \in X$ có một neigborhood nhỏ gọn.
$X$ là cục bộ nhỏ gọn nếu mỗi $x \in X$ có một cơ sở neigborhood bao gồm các tập hợp nhỏ gọn.
Rõ ràng là 2. mạnh hơn 1. Nếu giả định "compact" bao gồm "Hausdorff", thì 1. và 2. là tương đương. Điều này cũng đúng với Hausdorff$X$ độc lập với việc giải thích "compact".
Người đọc được khuyến khích sử dụng cách giải thích yêu thích của mình.
Điều kiện đủ rõ ràng là:
Nếu $X$ là nhỏ gọn, sau đó $C(X)$ là nhỏ gọn và do đó nhỏ gọn cục bộ theo nghĩa 1. Nếu $X$ là nhỏ gọn Hausdorff, sau đó $C(X)$ là nhỏ gọn Hausdorff và do đó nhỏ gọn cục bộ theo nghĩa 2.
Tương tự, một điều kiện cần thiết hiển nhiên là:
Nếu $C(X)$ là cục bộ nhỏ gọn, sau đó $X$ là nhỏ gọn cục bộ.
Trong thực tế, $X$ là homeomorphic cho cơ sở $X \times \{0\}$ của $C(X)$ đóng cửa trong $C(X)$, do đó nhỏ gọn cục bộ.
Nếu $X$ là nhỏ gọn cục bộ, sau đó rõ ràng là không gian con mở $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ là cục bộ nhỏ gọn, ở đâu $*$ là mẹo của $C(X)$, tức là lớp tương đương chung của các điểm trong $X \times \{1\}$.
Đối với tôi, có vẻ như một $X$không thể có một hình nón nhỏ gọn cục bộ. Lý do là nếu$C(X)$ là cục bộ nhỏ gọn, sau đó $*$phải có một neigborhood nhỏ gọn. Tôi có thể chứng minh một phần kết quả (xem câu trả lời của tôi cho câu hỏi của riêng tôi). Nhưng tôi quan tâm liệu có một định lý tổng quát hơn không.
Trả lời
Đây là một phần câu trả lời.
Để cho $X$là một không gian paracompact bình thường (bao gồm cả Hausdorff). Sau đó, những điều sau đây là eqiu hóa trị:
$X$ là nhỏ gọn.
$C(X)$ là nhỏ gọn.
$C(X)$ là nhỏ gọn cục bộ.
Điều này áp dụng cho tất cả các không gian Hausdorff paracompact $X$, đặc biệt đối với tất cả có thể đo được $X$.
Sự tương đương của 1. và 2. là hiển nhiên, và 2. ngụ ý 3. Nó vẫn cho thấy rằng 3. ngụ ý 1. Chiến lược của chúng tôi là nhúng $X$ như một tập hợp con khép kín của một khối tân sinh nhỏ gọn của chóp $*$ của $C(X)$. Điều này sẽ được thực hiện bằng cách dịch chuyển đế$X \times \{0\}$ của $C(X)$ hướng tới $*$.
Để cho $U$ là một tân sinh cởi mở của $*$ trong $C(X)$ với sự đóng cửa nhỏ gọn $K \subset C(X)$. Nếu$p : X \times I \to C(X)$ biểu thị bản đồ thương số, sau đó $V = p^{-1}(U)$ là một neigborhood mở của $X \times \{1\}$ trong $X \times I$. Cho mỗi$x \in X$ để cho $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Thông suốt$0 \le f(x) < 1$ bởi vì $V$đang mở. hơn thế nữa$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. Chức năng$f$ là bán liên tục trên: Hãy $f(x) < r$. Chọn$t$ như vậy mà $f(x) < t < r$. Sau đó$\{x \} \times [t,1] \subset V$ và do đó tồn tại một neigborhood mở $W_x$ của $x$ trong $X$ như vậy mà $W_x \times [t,1] \subset V$. Sau đó$f(y) \le t < r$ cho $y \in W_x$. Từ$f(x) < 1$ cho tất cả $x$ và hàm hằng $1$ là định lý bán liên tục thấp hơn, một định lý đã được Dowker chứng minh độc lập (xem "Trên không gian paracompact đếm được." Tạp chí Toán học Canada 3 (1951): 219-224 / Định lý 4) và bởi Katetov (xem "Về các hàm có giá trị thực trong tôpô dấu cách. "Quỹ. Toán học. 38 (1951): 85-91 / Định lý 2) nói rằng tồn tại một liên tục $h : X \to \mathbb R$ như là $f(x) < h(x) < 1$ cho tất cả $x$. Định nghĩa$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Đây là cách nhúng: Trên thực tế, hạn chế$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ là một sự nhúng và $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, là một sự nhúng. Hơn thế nữa,$H(X)$ đã đóng cửa $C(X)$ và $\bar h(X) \subset V$, do đó $H(X) \subset U \subset K$. Chúng tôi kết luận rằng$H(X)$là nhỏ gọn. vì thế$X$ là nhỏ gọn.
Cập nhật:
Định lý trên nói rằng một không gian paracompact chuẩn (bao gồm cả Hausdorff) có thể đếm được $X$ mà không nhỏ gọn không thể có một hình nón nhỏ gọn cục bộ.
Trong trường hợp đặc biệt của một$\sigma$-compact cục bộ nhỏ gọn Hausdorff $X$ chúng ta có thể đưa ra một chứng minh thay thế không sử dụng "định lý sandwich" ở trên cho các hàm bán liên tục trên và dưới.
Vì vậy hãy $C(X)$ nhỏ gọn cục bộ, $U$ là một tân sinh cởi mở của $*$ trong $C(X)$ với sự đóng cửa nhỏ gọn $K \subset C(X)$ và $V = p^{-1}(U)$ đó là một tân sinh mở của $X \times \{1\}$ trong $X \times I$.
Chúng ta có $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ với nhỏ gọn $K_n \subset X$ như vậy mà $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Có tồn tại mở$W_n \subset X$ và $t_n \in (0,1)$ như vậy mà $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog, chúng tôi có thể giả định rằng trình tự$(t_n)$không giảm. Lưu ý rằng$s_n = (1+t_n)/2$ được chứa trong $(t_n,1)$. Để cho$B_n = \operatorname{bd} K_n$ nhỏ gọn (nhưng có thể trống; trong trường hợp đó $K_n$là clopen). Bộ$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ nhỏ gọn và chứa bộ rời $B_n$ và $B_{n-1}$ (chính thức chúng tôi đặt $K_0 = \emptyset$). Chúng tôi xây dựng liên tục$f_n : C_n \to I$ như sau: Đối với $n=1$ để cho $f_1(x) = s_2$. Được$f_1,\ldots, f_n$ như vậy mà $f_i(x) = s_i$ cho $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ cho $x \in B_i$ và $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ cho tất cả $x \in C_i$ chúng tôi sử dụng định lý Urysohn để tìm $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ như vậy mà $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ cho $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ cho $x \in B_{n+1}$ và $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ cho tất cả $x \in C_{n+1}$. Bộ sưu tập của tất cả những$f_n$, $n \in \mathbb N$, có thể được dán vào một liên tục $f : X \to I$ có tài sản đó $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. Trên thực tế, đối với$x \in C_n$ chúng ta có $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ và như vậy $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Bằng cách xây dựng$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ là một tập hợp con đóng của $C(X)$ là cấu trúc đồng dạng với $X$ và, là một tập hợp con đóng của $K$, gọn nhẹ.