không gian hoàn toàn bình thường

Question

Nếu $X$ là một không gian tôpô Hausdorff, chúng tôi nói rằng $X$ là hoàn toàn bình thường nếu, đối với mọi tập hợp đã đóng $A$, tồn tại một chức năng liên tục $f_A:X\rightarrow[0,1]$ như vậy mà $f_A^{-1}(0)=A$.

Chứng minh rằng các khoảng trống hoàn toàn bình thường.

Nỗ lực của tôi: Giả sử $A$ và $B$là hai tập đóng rời rạc. Định nghĩa$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in A$và $g(x)=1$ nếu và chỉ nếu $x\in B$.

Miễn là tôi có thể chứng minh $g:X\rightarrow [0,1]$là liên tục, tôi đã hoàn thành. Nhưng tôi không biết làm thế nào để hiển thị nó là liên tục.

Answer 1

Một cách khác có thể là xem bản đồ của bạn $g$ như thành phần sau

$g=G\circ (f_A,f_B)$ Ở đâu

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

và

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

Ở đâu $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Và bản đồ là $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

đó là sự liên tục trên miền của nó. Bản đồ này là sự liên tục cho cùng một lý luận của Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ và $f_A(x)+f_B(x) = 0$ nếu và chỉ nếu $f_A(x)=f_B(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x \in A$ và $x\in B$điều đó là không thể. Vì thế$g$là tỷ số của hai hàm số liên tục trong đó mẫu số không bao giờ biến mất. Điều này ngụ ý rằng$g$ là liên tục.