Luôn tồn tại một chức năng $ f $ mà $ Y - f ( X ) $ và $ X $ độc lập?

Question

Để cho $ X $ và $ Y $ là các biến ngẫu nhiên thực.

Luôn tồn tại một chức năng $ f $ mà $ Y - f ( X ) $ và $ X $ độc lập?

Tôi đã cố gắng chứng minh câu nói đó, nhưng tôi không thể làm được.

Nếu câu lệnh sai thì phải tồn tại các biến ngẫu nhiên $ X $ và $ Y $ như vậy cho bất kỳ chức năng nào $ f $, $ Y - f ( X ) $ và $ X $là không độc lập.

Nhưng tôi cũng không thể tìm thấy một cặp biến ngẫu nhiên như vậy $ X $ và $ Y $.

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ lời khuyên hoặc gợi ý!

Answer 1

Không, nhưng có tồn tại một $f(X)$ sao cho chúng không tương quan.

Hai biến $X$ và $Y$ độc lập nếu phân phối xác suất của $Y|X$ không phụ thuộc vào $X$. Xem xét$Y|X \sim N(0, X^{2})$, sau đó $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ vẫn còn phụ thuộc vào $X$ cho bất kỳ chức năng nào $f$.

Nếu chúng ta xác định $E[f(X)]$ vậy nên $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, sau đó $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Ví dụ, hãy$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ được tuyến tính.

Answer 2

Để cho $\Omega = \{a,b,c\}$ là một không gian xác suất với ba kết quả, mỗi kết quả có xác suất $1/3$. Để cho$X = 1_{\{a\}}$ và $Y = 1_{\{b\}}$. Bạn có thể kiểm tra điều đó nếu$A,B$là các sự kiện độc lập trong không gian này, thì một trong số chúng phải có xác suất 0 hoặc 1; kết quả là bất kỳ biến ngẫu nhiên nào độc lập với$X$phải không đổi. Nhưng$Y-f(X)$ không bao giờ có thể không đổi, vì nó nhất thiết sẽ nhận các giá trị khác nhau tại $b$ và $c$.