Nếu $p$ là một số nguyên tố kỳ lạ và $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sau đó $\alpha^2$ không phải là một modulo gốc nguyên thủy $p$.

Aug 16 2020

Chứng minh đúng hoặc đưa ra một ví dụ ngược lại nếu sai.

Nếu $p$ là một số nguyên tố kỳ lạ và $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sau đó $\alpha^2$ không phải là một modulo gốc nguyên thủy $p$.

Tôi đã cố gắng chứng minh điều đó là đúng, nhưng tôi không biết phải bắt đầu từ đâu. Tôi đã nghĩ đến việc sử dụng Định lý nhỏ của Fermat: nếu$p$ là một nguyên tố và $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sau đó $\alpha^{(p-1)}=1$ nhưng làm thế nào để thực hiện bước nhảy từ FLT sang rễ nguyên thủy? Gốc nguyên thủy được định nghĩa là một phần tử$\gamma=\phi(m)$ nhưng làm thế nào mà nó buộc vào vấn đề này?

Trả lời

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$Bước cuối cùng sau FLT.

Do đó, thứ tự của $a^2$ mod $p$ nhiều nhất là $\frac{p-1}{2}$, vì vậy nó không thể là một gốc nguyên thủy theo định nghĩa.