Số Skyrmion

Oct 15 2020

Số skyrmion được định nghĩa là $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ Ở đâu $n$ là chỉ mục tôpô, $\mathbf {M}$ là vectơ đơn vị theo hướng của từ hóa cục bộ trong màng từ tính mỏng, siêu mỏng hoặc khối lượng lớn, và tích phân được lấy trong không gian hai chiều.

Được biết rằng $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ và $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. Trong cấu hình skyrmion, sự phụ thuộc không gian của từ tính có thể được đơn giản hóa bằng cách đặt biến từ vuông góc độc lập với góc trong mặt phẳng ($ \theta \left(r\right)$) và biến từ tính trong mặt phẳng không phụ thuộc vào bán kính ($ \phi \left(\alpha\right)$). Sau đó, số skyrmion đọc:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$

Câu hỏi của tôi là: là $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$một sản phẩm cuộn và sản lượng của thuật ngữ này là bao nhiêu? Làm thế nào để đạt đến phương trình cuối cùng sau đó?

Trả lời

3 AccidentalTaylorExpansion Oct 15 2020 at 16:55

Nó không phải là một cuộn tròn. Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách thể hiện độ cong trong các thành phần vector.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Đây $\partial_x$ biểu thị đạo hàm riêng đối với $x$. Số lượng$\partial_x\mathbf M$ là một vector giống như $\mathbf M$. Nó có các thành phần$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Tính toán số lượng $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ sau đó chỉ là vấn đề áp dụng sản phẩm chéo. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$Đây là một biểu hiện khó khăn và bạn có thể sẽ không có nhiều trực giác khi nhìn vào các thành phần. Những gì bạn có thể nói về nó là$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$tạo thành tích ba véc tơ . Điều này cung cấp cho âm lượng được kéo dài bởi (song song của)$\mathbf A,\mathbf B$ và $\mathbf C$. Vì vậy, số lượng bạn đang tích hợp là khối lượng được kéo dài bởi$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ và $\partial_y \mathbf M$.

Để tính tích phân trong phương trình cuối cùng của bạn, chỉ cần cắm mọi thứ vào biểu thức cuối cùng của tôi cho $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Điều này thật tẻ nhạt nhưng có thể làm được.

CHỈNH SỬA Tôi sẽ thêm một số thông tin khác để làm cho việc tính toán bớt tẻ nhạt hơn. Các đạo hàm riêng có thể được mở rộng bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Chúng có thể được tính là $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Tiếp theo lưu ý rằng $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ và $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Nếu chúng ta đặt tên cho các vectơ đạo hàm riêng này $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ và $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ thì sản phẩm chéo trở thành $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Cuối cùng, bạn có thể tính toán rằng $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ và bạn sẽ có thể thực hiện phép tính này mà không cần tính toán rõ ràng tất cả các thành phần.