Tích phân, Tích phân
Để tích hợp $y=f(x)$ từ $a$ đến $b$ chúng tôi chia hàm thành các hình chữ nhật nhỏ có chiều rộng $dx$. Nên$n$-hình chữ nhật thứ sẽ có khoảng cách là $n\,dx$ từ $a$ trên $x$-axis. Để đó đi$t$ hình chữ nhật giữa $a$ và $b$. vì thế$b=a+t\,dx$. Nhưng$t\,dx$ sẽ rất nhỏ đối với bất kỳ Số nguyên dương nào $t$do thuộc tính của Infinitesimals. Vậy làm thế nào nó sẽ đến được$b$? Tôi có bất kỳ quan niệm sai lầm nào liên quan đến phép tính toán và phép tính không?
Trả lời
Trong cuốn sách Sức mạnh vô hạn của mình , Steven Strogatz đề cập đến vấn đề chính xác mà bạn đang mô tả. Ông xem xét sự khác biệt giữa 'vô cùng hoàn thành' và 'tiềm năng vô hạn'. Tôi sẽ sớm giải quyết vấn đề cụ thể của bạn, nhưng trước tiên, tôi sẽ mô tả một vấn đề tương tự giúp xác định chính xác điều gì đang xảy ra.
Như bạn đã biết, phép chia cho số 0 không được phép trong toán học. Tuy nhiên, nhiều người chia sẻ niềm tin sai lầm rằng$$ 1/0 = \infty $$Tại sao thế này? Một nhà toán học được đào tạo có thể hồi sinh trước tuyên bố trên, nhưng thực ra, nó rất hợp lý; sai , nhưng hợp lý. Hãy xem này:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Như $x$ phương pháp tiếp cận $0$, $1/x$ tiệm cận vô cùng. Vì thế,$1/0=\infty$. Nhưng khoan, đó không phải là những gì chúng tôi đã thể hiện. Những gì chúng tôi thể hiện là$x$ ngày càng gần hơn với $0$, $1/x$ngày càng lớn hơn. Có một sự khác biệt quan trọng giữa hai tuyên bố này thường được che đậy trong các khóa học giải tích nhập môn. Khi bạn đến trường hợp$1/0$, tất cả các loại nghịch lý xuất hiện, và vì vậy đó là với lý do chính đáng $1/0$là không xác định . Tuy nhiên, xem xét những gì$1/0$có thể có hoặc có thể không không phải là một bài tập hoàn toàn không có năng lực. Ngược lại, nó có thể tiết lộ cho chúng ta một trong những công cụ quan trọng nhất trong giải tích: giới hạn. Hãy xem biểu đồ của$y=1/x$:
Đừng lo lắng nếu tất cả các chi tiết nhỏ không hoàn toàn có ý nghĩa đối với bạn. Chỉ cần cố gắng nhớ hai sự kiện chính sau:
- Trong giải tích, các nhà toán học làm việc với các giới hạn .
- Khi cố gắng tính toán các giới hạn chẳng hạn như $1/x$ như $x$ phương pháp tiếp cận $0$, thực tế là $1/0$là không xác định không ở đây cũng không ở đó. Chúng tôi không cố gắng tìm hiểu điều gì sẽ xảy ra khi chúng tôi 'về 0'. Thay vào đó, chúng tôi đang xem xét điều gì sẽ xảy ra khi chúng tôi ngày càng tiến gần hơn đến$0$, cả theo hướng tích cực và tiêu cực. **
Bây giờ chúng ta hãy so sánh những gì chúng ta đã học được về các giới hạn với những gì chúng ta nghĩ rằng chúng ta biết về các chỉ số vô cơ. Vấn đề lớn nhất với khái niệm về số thập phân trong tâm trí tôi là họ đề xuất rằng có một 'số nhỏ nhất có thể'. Trên thực tế, khi chúng tôi đang làm việc với các số thực tiêu chuẩn, không có điều đó. Điều này nên hiển nhiên bằng trực giác: dù bạn xuống thấp đến đâu, bạn luôn có thể xuống thấp hơn. Bạn cũng có thể thông cảm với ý kiến rằng$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Một lần nữa, điều này có vấn đề, đặc biệt là vì nó coi vô cực như thể nó là một con số. Do đó, chúng ta nên cực kỳ thận trọng khi ai đó đề cập đến các từ 'vô cùng nhỏ', hoặc 'nhỏ vô hạn'. Thông thường, khi họ làm vậy, họ đang sử dụng những thuật ngữ này như một cách viết tắt đơn thuần cho các giới hạn mà chúng tôi đã làm việc trước đó. Ví dụ, nếu tôi viết 'là$x$ trở nên nhỏ bé vô hạn, $1/x$trở nên lớn vô hạn ', thì điều này sẽ khá là cẩu thả, nhưng nó cũng sẽ được hiểu một cách tổng quát bởi những người thông thạo các nguyên tắc cơ bản của phép tính. (Tôi sẽ cảnh báo không sử dụng ngôn ngữ như vậy.)
Những lần khác khi mọi người đề cập đến số lượng cực nhỏ, họ đang nói về phân tích không chuẩn, trong đó ý tưởng về số thập phân vô cùng được chính thức hóa. Nhưng chúng ta đừng để bị lệch. Theo như tôi lo ngại, 'không tồn tại trong tương lai'. Đây cũng nên là quan điểm của bạn. Mặc dù các mục tiêu bên trong có thể hấp dẫn về mặt trực giác, nhưng chúng ta nên luôn xác nhận rằng trực giác của chúng ta phù hợp với thực tế. Nếu không, chúng tôi đang yêu cầu rắc rối.
Cuối cùng, chúng tôi nhận được câu hỏi của bạn. Nếu tôi hiểu đúng, bạn đang hỏi về$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Như bạn đã chỉ ra một cách chính xác, tích phân dựa trên việc chia một đường cong thành nhiều hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật có một chiều rộng nhất định. Hãy gọi chiều rộng này là$\Delta x$. Chúng tôi có thể ước tính diện tích dưới biểu đồ là$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Đừng thất vọng nếu biểu hiện trên có vẻ xa lạ với bạn. Tất cả điều đó có nghĩa là mỗi hình chữ nhật có một chiều rộng cố định$\Delta x$. Chiều dài của mỗi hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều cao của đường cong tại mỗi điểm — do đó tại sao chiều dài là$f(x)$, Ở đâu $x$ là một biến đi từ $a$ đến $b$. Và tất nhiên, tính gần đúng đến từ tính tổng diện tích của các hình chữ nhật. Để hình dung điều này, đây là hình ảnh động lấy từ Wikipedia:
* Hãy cẩn thận với cụm từ 'tiếp cận vô cùng'. Điều này có một ý nghĩa rất khác với 'tiếp cận$5$', Nói. Nếu tôi nói$x$ đang tiến đến vô hạn, thì tất cả những gì tôi muốn nói là $x$đang ngày một lớn hơn. Đó là nó.
** Trong trường hợp cụ thể này, giới hạn 'không tồn tại', vì chúng ta nhận được hai câu trả lời khác nhau: $+\infty$ và $-\infty$, tùy thuộc vào việc chúng ta có tiếp cận $0$từ 'bên trên' hoặc 'bên dưới'. Do đó, chúng ta phải hạn chế xem xét trường hợp$x$ phương pháp tiếp cận $0$ chỉ từ đầu dương, hoặc chỉ từ đầu âm.