Tìm góc giữa hai tiếp tuyến vẽ từ điểm $(0, -2)$ đến đường cong $y=x^2$

Question

Tìm góc giữa hai tiếp tuyến vẽ từ điểm $(0, -2)$ đến đường cong $y=x^2$.

Đây là nỗ lực của tôi:
Hãy$P(\alpha, \beta)$ là một điểm trên đường cong. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Phương trình của tiếp tuyến tại P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ nên thỏa mãn phương trình này. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Bây giờ đặt các giá trị này để tìm độ dốc$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Chúng tôi biết điều đó cho $\theta$= góc giữa các đường và $m_1\quad\&\quad m_2$ là độ dốc của các đường: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

Câu trả lời của tôi không phù hợp với cuốn sách. Cuốn sách được đánh giá rất cao nên không thể sai sót. Tôi không thể tìm thấy lỗi trong giải pháp của mình. Cuốn sách nêu câu trả lời là$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Chỉnh sửa: Cuốn sách thực sự nêu câu trả lời của nó là$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Tôi là người mù không thể nhìn thấy hai người .

Answer 1

Tôi nghĩ rằng có hai sai lầm trong cuốn sách của bạn.

Thứ nhất, $\theta$ phải là một góc nhọn vì chúng ta nói về góc giữa các tiếp tuyến chứ không nói về các đoạn của tiếp tuyến, nhưng $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Ngoài ra, câu trả lời của bạn $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ là đúng và thậm chí $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Sau khi bạn sửa chữa, chúng tôi cần chứng minh rằng $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ đó là sự thật bởi vì $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

Answer 2

Như bạn đã bắt nguồn, $x$-giá trị của hai điểm trên đường cong là $-\sqrt2$ và $\sqrt2$ (với một $y$-giá trị của $2$).

Hãy xem xét "tiếp tuyến bên phải" $\big($tại $(+\sqrt2,2)$$\ lớn) $ . Vì hệ số góc của tiếp tuyến là $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , góc giữa trục $ x $ và tiếp tuyến này là $ \ arctan \ sqrt8 $ . Do đó, góc giữa tiếp tuyến đó và trục $ y $ là $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Cuối cùng, góc gấp đôi này là góc giữa hai tiếp tuyến, thực sự là $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .