Tìm mô hình nhận ra ít loại

Question

Sau đây là một vấn đề (nother) từ một kỳ thi đủ điều kiện cũ về logic:

Để cho $T$ là một lý thuyết bậc nhất trong một ngôn ngữ đếm được $\mathcal{L}$thừa nhận một mô hình vô hạn. Cho mọi người thấy điều đó$\kappa \geq \aleph_0$ có một mô hình $\mathcal{N} \models T$ của cardinality $\kappa$ như vậy, cho mọi $A \subseteq N$, có nhiều nhất $\vert A \vert + \aleph_0$ loại từ $S^{\mathcal{N}}_1(A)$ nhận ra trong $\mathcal{N}$.

Đây $S^{\mathcal{N}}_1(A)$ biểu thị tập hợp tất cả hoàn chỉnh $1$-các loại hơn $A$ trong $\text{Th}(\mathcal{N})$ (vì vậy, một bộ $p$ của $\mathcal{L}_A$-công thức trong một biến miễn phí thuộc về $S^{\mathcal{N}}_1(A)$ nếu và chỉ nếu $p \cup \text{Th}_A(\mathcal{N})$ là hài lòng và cho tất cả $\mathcal{L}_A$-công thức $\phi$ trong một biến miễn phí, $\phi \in p$ hoặc là $\lnot \phi \in p$; đây là cách diễn giải Định nghĩa của Marker 4.1.1).

Bản năng đầu tiên của tôi là thử, cho mỗi $\kappa \geq \aleph_0$, để tìm một mô hình "không bão hòa" nhất có thể. Điều này khiến tôi phải xem xét các mô hình nguyên tử; tuy nhiên, tôi không biết bất kỳ định lý tồn tại nào cho các mô hình nguyên tử không đếm được mà không phụ thuộc vào các giả định cụ thể về$T$. Hơn nữa, bởi vì$T$ thậm chí không được cho là hoàn chỉnh, tôi nghi ngờ liệu dòng suy nghĩ này có hữu ích hay không, vì chúng ta thường không nói về các mô hình nguyên tử hoặc bão hòa của các lý thuyết không hoàn chỉnh.

Vì định lý duy nhất có thể có liên quan khác mà tôi có thể nghĩ đến là định lý loại bỏ (và sự tổng quát hóa của nó cho các bản số cao hơn - định lý được gọi là $\alpha$- Định lý các loại tùy chọn của Chang và Keisler), tôi tự hỏi liệu có thể sử dụng định lý này để thay thế không; có lẽ chúng tôi có thể đảm bảo rằng, trong một số mô hình có kích thước phù hợp, nhiều loại được bỏ qua. Tuy nhiên, các định lý loại bỏ duy nhất mà tôi biết giả sử$A = \emptyset$.

Một trong hai cách tiếp cận này có hữu ích không? Nếu không, đâu sẽ là một gợi ý đi đúng hướng?

Answer 1

Các mô hình như vậy có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các trình tự không thể xác định được và được gọi là mô hình Ehrenfeucht-Mostowski . Hầu hết các sách về lý thuyết mô hình nên có cách xử lý về cấu trúc này. Dưới đây là một số tài liệu tham khảo phổ biến:

• Lý thuyết mô hình của Chang và Keisler: phần 3.3, cụ thể là Hệ quả 3.3.14.
• Một khóa học về lý thuyết mô hình của Tent và Ziegler: phần 5.1, cụ thể là Hệ quả 5.1.9.
• Lý thuyết mô hình: Giới thiệu bởi Marker: phần 5.2, cụ thể là Định lý 5.2.9.

Ngoài ra còn có một phiên bản trực tuyến của lập luận trên wiki Lý thuyết Mô hình .