Trace entropies

Question

Tôi đang nghiên cứu mối quan hệ giữa các hàm entropy theo vết và tổ hợp và tôi phải đối mặt với vấn đề sau. Hãy$\mathcal {D}$ là toán tử vi phân sau $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ I E $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Đối với $m\ge 0$ số nguyên, nếu $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ sau đó $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ và, (ít nhất là về mặt hình thức) cho một chức năng $g$ chúng tôi có thể viết $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ Ở đâu $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Tôi đang cố gắng tìm ra loại chức năng nào $g(x)$ có thể thỏa mãn các điều kiện sau trên $(0;1]$

TÔI) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$. (Độ nhạy)

II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (một số loại$\mathcal {D}$-concavity)

III) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (đây là độ sâu tiêu chuẩn được biểu thị bằng toán tử $\mathcal {D}$

IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ như vậy mà $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ như vậy mà $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Nếu chúng ta chỉ áp đặt các điều kiện I), II) và III) thì có rất nhiều hàm thỏa mãn chúng, nhưng

1. thêm IV) Tôi không thể tìm thấy bất kỳ chức năng nào ngoại trừ biểu mẫu sau $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ hằng số thực (tại đây $\varepsilon=1$). Lưu ý rằng$g$ không thỏa mãn V).

2. thêm IV) và V) Tôi không thể tìm thấy bất kỳ hàm nào khác ngoại trừ dấu vết entropy Boltzman-Gibbs-Shannon: $-x\cdot \log(x)$

Tôi "sợ" rằng dấu vết entropy Boltzman-Gibbs-Shannon là hàm duy nhất thỏa mãn I) -V).

Cảm ơn trước cho bất kỳ quan điểm.

Answer 1

Bất cứ gì $c\in(0,\log2]$, chức năng $g$ được xác định bởi công thức $g(x)=cx$ cho $x\in[0,1]$ thỏa mãn các điều kiện của bạn I) –V), nhưng nó không phải là dấu vết entropy Boltzman – Gibbs – Shannon.

---

Còn nhiều chức năng nữa $g$thỏa mãn điều kiện của bạn I) –V) không phải là dấu vết entropy Boltzman – Gibbs – Shannon. Đặc biệt, đối với bất kỳ$c_1\in(0,\log2)$, bất kỳ hàm liên tục không âm nào $H$ trên $[0,1]$và bất kỳ thực nhỏ nào đủ $c_2\ge0$ và $c_3\ge0$, chức năng $g$ được xác định bởi công thức $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ cho $x\in[0,1]$ thỏa mãn điều kiện của bạn I) –V), nhưng nó không phải là dấu vết entropy Boltzmann – Gibbs – Shannon.