Trình tự Følner với hình dạng kỳ lạ
Để cho $G$là một nhóm rời rạc và được tạo ra một cách khéo léo. Nhớ lại điều đó$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$là một chuỗi Følner nếu$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ Cho mọi $g \in G$. Như đã biết, sự tồn tại của một trình tự Følner tương đương với khả năng tồn tại của$G$.
Người ta thường nói rằng các chuỗi Følner có hình dạng kỳ lạ . Câu hỏi nhẹ của tôi là: chúng tôi có những ví dụ nào ủng hộ tuyên bố này? Tất nhiên nếu$G$là tăng trưởng theo cấp số nhân sau đó một dãy con của các quả bóng tạo thành một chuỗi Følner, và điều này không có hình dạng kỳ lạ . Do đó, cụ thể hơn: chúng ta biết những ví dụ nào về các nhóm tăng trưởng theo cấp số nhân có trình tự Følner rõ ràng không được tạo thành từ các quả bóng?
Như các ví dụ mà tôi đang yêu cầu, chuỗi Folner hình sao yêu cầu các bộ Følner có dạng nhất định, trong khi câu trả lời của các bộ Folner và các quả bóng đưa ra các dãy rõ ràng làm bằng hình chữ nhật (trái ngược với các quả bóng). Tương tự như vậy, nhóm ax + b có một dãy Følner làm bằng các hình chữ nhật trong đó một cạnh lớn hơn cạnh kia theo cấp số nhân.
Trả lời
Ở đây, đại số hữu ích hơn so với hình ảnh, nhưng hình ảnh rất thú vị, vì vậy hãy tiếp tục. Để chứng minh nhận xét của tôi về đèn trợ sáng, hãy kết xuất nhanh một quả bóng điển hình và bộ đèn pha Følner. Thực ra tôi không biết cái nào trong số này đẹp hơn, nhưng bộ Følner thực sự là bộ trông giống một quả bóng hơn.
Hai bức ảnh được chụp từ các góc độ khác nhau và do đó tạo thành một ảnh lập thể, vì vậy nếu bạn nhìn vào bức ảnh ngoài cùng bên trái bằng mắt phải và ngược lại, ảnh lập thể của bạn sẽ phát huy tác dụng. Tôi thấy điều này hữu ích, nếu không bạn có thể bỏ qua một trong số những hình ảnh.
Đầu tiên, quả bóng hoặc bán kính $3$với máy phát điện nơi đầu di chuyển. Khi đầu di chuyển sang phải, bạn đi lên sơ đồ. Tôi đang sử dụng một số quy ước, hy vọng có thể đoán được.
Đây là bộ Følner điển hình với các máy phát điện giống nhau.
Câu hỏi này phổ biến vào những năm 50 và 60 sau khi định lý Folner được chứng minh. Nhiều ví dụ về các bộ Folner kỳ lạ đã được xây dựng. Các ví dụ điển hình về các nhóm mà bộ Folner không phải là bóng là nhóm đèn chiếu sáng và các sản phẩm vòng hoa của gtoups chu kỳ vô hạn. Đối với các bài báo gần đây hơn, hãy xem Anna Erschler. Trên các cấu hình đẳng số của các nhóm được tạo hoàn chỉnh. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 và các tài liệu tham khảo trong đó.
Một câu trả lời cho câu hỏi không nhẹ nhàng của bạn là các nhóm sau đều có [ít nhất một] bộ tạo trong đó các quả bóng được biết không phải là Folner, nhưng một số chuỗi ("hình chữ nhật") khác là: Baumslag-Solitar có thể giải quyết được, một số sản phẩm vòng hoa (bao gồm cả đèn chiếu sáng), một số phần mở rộng của$\mathbb{Z}^d$ bởi $\mathbb{Z}$ (những thứ được đưa ra bởi một ma trận không có giá trị riêng của chuẩn 1), một số $ax+b$ các nhóm và về cơ bản gần như bất kỳ nhóm tăng trưởng theo cấp số nhân nào có chuỗi tăng trưởng là hợp lý và đã được tính toán (xem chi tiết bên dưới).
"sự kỳ lạ" của bộ Folner: Như đã đề cập trong câu hỏi, [một dãy con của chuỗi] quả bóng tạo thành một chuỗi Folner tự nhiên trong bất kỳ nhóm tăng trưởng cấp số nhân nào. Bây giờ, như những người khác đã chỉ ra, các quả bóng (wrt cho một số bộ tạo hữu hạn) khá "xấu xí". Điều này có thể được thực hiện chính xác nếu người ta xem xét khái niệm về một bộ Folner tối ưu:
Để cho $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (các $\inf$ chạy trên tất cả các bộ $A$ có kích thước $\leq n$) là đường đẳng lượng. Sau đó, một bộ$F$ là tối ưu nếu $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. Bằng chữ: nếu một bộ$E$ không lớn hơn [cardinality-khôn ngoan] hơn $F$, thì đó là tỷ lệ đẳng số $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, không đánh bại tỷ lệ cân bằng của $F$.
Người ta có thể kiểm tra (sử dụng bất đẳng thức Loomis-Whitney) mà Folner tối ưu đặt trong $\mathbb{Z}^d$(wrt bộ tạo thông thường) là các hình khối [siêu] (hoặc chúng có xu hướng có dạng hình chữ nhật). Đây là một cách nói rõ ràng rằng những quả bóng là những bộ Folner "vụng về". Bằng cách so sánh các tập hợp tối ưu không "kỳ lạ" chút nào (vì chúng phải được lựa chọn cực kỳ tốt).
Để biết thêm về sự kỳ lạ, hãy xem ghi chú bên dưới.
Ví dụ rõ ràng: Tiếp theo, với một nhóm tăng trưởng theo cấp số nhân, đó là một câu hỏi mở liệu bất kỳ dãy con nào của chuỗi các quả bóng đều là Folner. Tôi đã đưa ra một phần câu trả lời cho thấy điều này không xảy ra khi nhóm [cùng với việc lựa chọn tổ máy phát điện] đã tăng trưởng theo cấp số nhân. Điều này bao gồm nhiều sản phẩm vòng hoa, nhóm Baumslag-Solitar có thể hòa tan và một số phần mở rộng của$\mathbb{Z}^d$ bởi $\mathbb{Z}$ (xem liên kết để biết chi tiết).
Tất cả các nhóm này đều có thể được viết dưới dạng sản phẩm bán trực tiếp. Nếu$G$ và $H$ có thể chấp nhận được, sau đó người ta có thể chỉ ra rằng $G \rtimes H$ có thể điều chỉnh được và các bộ Thư mục có Dạng $E_n \times F_n$ (Ở đâu $E_n$ [tương ứng. $F_n$] là một chuỗi Folner của $G$ [tương ứng. $H$]). Theo nghĩa đó, các bộ Folner mà chúng ta bắt gặp (một cách lười biếng, theo nghĩa là chúng được tạo ra bởi một bằng chứng chung) trong các nhóm như vậy là "hình chữ nhật".
Do đó, các nhóm được đề cập ở trên [Baumslag-Solitar có thể hòa tan, một số nhóm metabelian, các nhóm có chuỗi tăng trưởng hợp lý và không có hai cực ở bán kính hội tụ (bao gồm nhiều sản phẩm vòng hoa và $ax+b$-groups)] là câu trả lời trực tiếp cho câu hỏi thứ hai của bạn (đối với một số bộ tạo). Người ta biết rằng các quả bóng (bộ tạo wrt) không phải là Folner nhưng một số bộ "hình chữ nhật" là (nói chính xác: có thể có các nhóm có một cực duy nhất không phải là sản phẩm bán trực tiếp hoặc phần mở rộng của các nhóm thuận tiện; đối với các nhóm này [ nếu có] không có tập hợp "hình chữ nhật").
Đối với các phần mở rộng không phân tách, Ycor đã đưa ra mô tả về các bộ Folner ở đó . Lưu ý rằng người ta có thể điều chỉnh ý nghĩa của "hình chữ nhật" cho các phần mở rộng không phân chia: bằng cách lấy hình ảnh trước của tập Folner nhân với thương số của một số tập hợp Folner của nhóm con.
Vì vậy, bây giờ người ta có thể nghĩ rằng bộ "hình chữ nhật" (và không còn quả bóng) là yêu thích. Nhưng cũng có những nhóm tăng trưởng trung gian đơn giản thấy câu hỏi này . Và (nếu không phải cho các nhóm như vậy, thì đối với các nhóm đơn giản khác của sự phát triển theo cấp số nhân), tôi đoán rằng quả bóng là ứng cử viên duy nhất mà người ta có.
Về cơ bản, tôi nghĩ vấn đề liên quan nhiều hơn đến cách chúng ta xây dựng các nhóm dễ hòa hợp. Chúng tôi luôn sử dụng bốn thuộc tính của tính khả biến (phần mở rộng, nhóm con, thương số và giới hạn trực tiếp). Vì vậy, những người bắt đầu với tăng trưởng như là tiêu chí cơ bản và sử dụng bốn thuộc tính đó (có thể có nhiều cách để làm điều đó). Điều này sẽ cung cấp cho bạn các bộ Thư mục đã biết cho một nhóm nhất định. Như một ví dụ ngớ ngẩn, bạn có thể nói rằng Folner tự nhiên đặt trong$\mathbb{Z}^3$ là hình trụ (bóng trong $\mathbb{Z}^2$ lần bóng trong $\mathbb{Z}$).
Lưu ý phụ 1: đó là một câu hỏi mở lâu nay để chứng minh những tập hợp như vậy trong nhóm Heisenberg (liên tục) là gì (mặc dù hình dạng phỏng đoán được mô tả rất tốt). Đó là động lực của tôi cho câu hỏi này .
Lưu ý bên 2: Như đã chỉ ra bởi Ycor, đã đưa ra một trình tự Folner$F_n$ bạn có thể làm cho nó "kỳ lạ như bạn muốn" bằng cách xem xét một chuỗi các tập hợp hữu hạn tùy ý $E_n$ với $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Một lợi thế của việc xem xét các trình tự Folner tối ưu là sẽ tránh được các thiết lập như vậy (nhược điểm rõ ràng là hầu như không có nhóm nào mà các tập hợp tối ưu được biết đến). Một lưu ý nữa là việc thêm một bộ như vậy$E_n$không ảnh hưởng đến số đo bất biến mà người ta thu được (đối với máy siêu lọc cố định). Lưu ý rằng việc dịch các tập hợp có thể ảnh hưởng đến số đo giới hạn.
Ghi chú bên lề 3: Đây là một khía cạnh khác về độ "lạ" của các bộ Folner. Xem xét trình tự$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, cũng như $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ trong số các bộ trong $\mathbb{Z}$. Sau đó, hãy xem xét chức năng$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Ý nghĩa bất biến mà người ta nhận được từ$P_n$ trên $f$ là 1 (bất kể máy siêu lọc bạn chọn), cái bạn nhận được $M_n$ Là $-1$ (một lần nữa, bất kể máy siêu lọc nào) và cuối cùng là cái bạn nhận được $A_n$phụ thuộc vào ultafilter bạn chọn. Và bạn có thể xây dựng cho bất kỳ số thực nào trong$[-1,1]$ một chu kỳ $R_n$hội tụ với số đó (không phụ thuộc vào siêu lọc). Không quá khó để xây dựng một chuỗi có thể, tùy thuộc vào siêu lọc, hội tụ thành bất kỳ số hữu tỉ nào trong$[-1,1]$.