Ứng dụng của cảm ứng trong phân tích sự hội tụ một dãy xác định đệ quy.
Để cho $\left\{a_{n}\right\}$ được định nghĩa đệ quy bởi $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ Xác định cho cái nào $a_{1}$ chuỗi hội tụ và trong trường hợp hội tụ tìm giới hạn của nó.
Cách tiếp cận của tôi: Lưu ý rằng$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ vì vậy, trước tiên tôi muốn tìm $a_{n}$. Bây giờ, tôi đang cố gắng tìm một mẫu nhưng không thể tìm thấy mẫu này \ begin {eqnarray *} n = 1 & \ implies & a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1) - (3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2}) - (3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \ implies & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left (\ frac {1} {4 3a_ {1}} \ right)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1}) - 3} \\ \ vdots & \ ngụ ý & \ vdots \\ \ end {eqnarray * } Nếu tôi biết$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, vì vậy tôi có thể phân tích mẫu số để đưa ra kết luận khi $a_{n}$ không được xác định.
Làm thế nào có thể tìm thấy $a_{n}$?
Ngoài ra tôi biết vấn đề này đã được trả lời ở đây . Nhưng tôi nghĩ, chúng ta có thể tìm thấy một giải pháp cơ bản bằng cách sử dụng cảm ứng trên$n$.
Trả lời
Nếu chuỗi hội tụ thành $L$, lấy giới hạn ở cả hai mặt của sự lặp lại cho thấy rằng
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
hoặc là $3L^2-4L+1=0$. Các yếu tố bậc hai độc đáo:$(3L-1)(L-1)=0$, vì vậy giới hạn duy nhất có thể là $L=\frac13$ và $L=1$.
Rõ ràng là trình tự không được xác định nếu $a_1=\frac43$ và không đổi nếu $a_1=\frac13$ hoặc là $a_1=1$.
- Nếu $a_k<1$, sau đó $1<4-3a_k$và $0<a_{k+1}<1$.
- Nếu $a_k>\frac43$, sau đó $a_{k+1}<0$, vì thế $0<a_{k+2}<1$.
- Nếu $1<a_k<\frac43$, để cho $r=a_k-1$; sau đó$0<3r<1$, vì thế $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ Chuỗi không được có giới hạn trong $\left(1,\frac43\right]$, vì vậy hoặc nó đánh $\frac43$ và chết, hoặc $a_\ell>\frac43$ cho một số $\ell>k$, và sau đó $a_n\in(0,1)$ cho tất cả $n\ge\ell+2$.
Do đó, nếu $a_1$ thực sự tạo ra một chuỗi vô hạn, không cố định, chuỗi đó kết thúc bằng $(0,1)$. Điều gì xảy ra ở đó?
- Nếu $\frac13<a_k<1$, để cho $r=a_k-\frac13$. Sau đó$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ vì thế $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ và $a_{k+1}<a_k$. Trong trường hợp này, chuỗi phải hội tụ với$\frac13$.
- Nếu $0<a_k<\frac13$, để cho $r=\frac13-a_k$. Sau đó$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ vì thế $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ và $a_{k+1}>a_k$. Một lần nữa, chuỗi hội tụ thành$\frac13$.
Bây giờ chúng tôi đã cho thấy rằng $a_1=1$ mang lại chuỗi không đổi $a_k=1$ cho tất cả $k\ge 1$và mọi giá trị ban đầu khác mang lại một chuỗi hội tụ đến $\frac13$ hoặc một thứ cuối cùng chết vì một số $a_k=\frac43$. Nó chỉ còn lại để xác định các giá trị ban đầu một số$a_k=\frac43$.
Giải quyết $y=\frac1{4-3x}$ cho $x$, chúng tôi thấy rằng $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$. Để cho$b_1=\frac43$, va cho $k\ge 1$ để cho $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Thật dễ dàng để hiển thị bằng cách bật cảm ứng$k$ cái đó $a_k=\frac43$ nếu và chỉ nếu $a_1=b_k$, vì thế $\{b_k:k\ge 1\}$ là tập hợp các giá trị ban đầu không mang lại một chuỗi hội tụ và nó chỉ còn lại để tìm dạng đóng cho các số $b_k$.
Nếu chúng ta viết $b_k$ như một phần nhỏ $\frac{c_k}{d_k}$, sau đó
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
vì thế $c_{k+1}=4c_k-d_k$và $d_{k+1}=3c_k$, với điều kiện ban đầu $c_1=4$ và $d_1=3$. Sau đó$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$, vì vậy bằng cách cảm ứng $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ cho tất cả $k\ge 1$. Nó theo sau đó$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$. Giải quyết sự tái diễn$c_{k+1}=3c_k+1$ với giá trị ban đầu $c_1=4$ bằng bất kỳ phương pháp tiêu chuẩn nào, chúng tôi thấy rằng
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
và do đó
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
vậy nên
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
Cập nhật: Cảm ơn Brian M. Scott cho cái nhìn sâu sắc của bạn.
Tôi sẽ thêm trường hợp một số $a_k=\frac 43$. Theo Brian, chúng ta cần giải quyết trình tự$b_k$ như vậy mà $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Điều này có thể được giải quyết theo cách tương tự, nhưng dễ dàng hơn vì$b_1$ được đưa ra.
Lưu ý rằng $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
Từ $(1)$ chúng tôi kết luận $b_k>\frac 13, \forall k$ thông qua cảm ứng.
Sau đó $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
vì thế $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ giống với kết quả của Brian.
Câu trả lời ban đầu:
Từ $1$ và $\frac 13$ là gốc của phương trình đặc trưng $x=\frac{1}{4-3x}$, chúng ta có
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
Vì vậy, nếu không $a_n = \frac 13$ bạn có
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
Tất nhiên bạn cần quan tâm đến trường hợp $a_1=\frac 13$.
Xác định chức năng $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ Lưu ý rằng $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ Hãy xem xét hai trình tự cho $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ và $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ Ở đâu $q_0=\pm\infty$.
Lưu ý rằng $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ ở đâu, trong trường hợp của $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ Xác định khoảng thời gian $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ Ở đâu $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ và $Q_0=\left(-\infty,0\right)$:
Trong hình ảnh động ở trên, các đường liền màu đỏ và xanh lục là $P_n$ và $Q_n$. Các mũi tên trỏ đến các khoảng có dấu chấm$P_{n+1}$ và $Q_{n+1}$. Các khoảng có màu đỏ nếu$f(a)\lt a$ trên khoảng đó và màu xanh lục nếu $f(a)\gt a$; những khoảng thời gian này được mô tả trong$(2)$.
Từ $f'(a)\gt0$ ngoại trừ tại $q_{-1}=\frac43$ (nằm giữa $Q_{-2 }$ và $Q_{-1}$), chúng tôi có các phân tích $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ Từ $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ và $(8)$ hiển thị điều đó cho tất cả các điểm ngoại trừ $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$, lặp lại $f$ sẽ tạo ra một chuỗi hội tụ đến $\frac13$ (người ta thậm chí có thể nói rằng $q_{-\infty}=1$).
Gợi ý: Nếu $a_1<1$, nó rất dễ nhìn thấy $a_n<1$ và sau đó để $b_n=a_n-\frac13$. Nếu$a_1\in(1,\frac43)$, nó rất dễ nhìn thấy $a_n\in(1,\frac43)$ và sau đó để $b_n=a_n-1$. Bạn có thể làm phần còn lại.
Không có cảm ứng .
Nếu bạn làm theo các bước được mô tả ở đây mà tôi đã sử dụng để trả lời câu hỏi này, hãy làm cho câu chuyện trở nên ngắn gọn$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
Bây giờ, bạn cần xem xét các trường hợp khác nhau để đi đến kết quả tốt đẹp từ phân tích tốt đẹp của @Brian M. Scott.