Xuống dốc nhất với sự thay đổi chậm

Question

Giả sử rằng người ta có một tích phân có dạng $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)} $$ Ở đâu $f(x;\lambda) = f_0(x) + f_1(x;\log(\lambda))/\lambda $ và $f_1$ phụ thuộc từ từ vào $\lambda$theo nghĩa là nó có thể phát triển nhiều nhất là đa thức trong đối số của nó. Có đúng như vậy không, như$\lambda\to \infty$, $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)}dx \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda |f_0''(x_0)|}}g(x_0)e^{\lambda f_0(x_0)}, $$ Ở đâu $x_0$ là một điểm tĩnh duy nhất của $f_0(x)$, tức là các tiệm cận đồng ý với những thay thế $f(x;\lambda)$ với $f_0(x)$?

Answer 1

Bạn có thể khiếu nại định lý sau của Olver ( Tiệm cận và Hàm đặc biệt , Chương 9, Phần 2, Định lý 2.1). Bạn phải thay đổi điểm đứng yên$x_0$ về điểm gốc, tách tích phân tại $x=0$ thành hai tích phân riêng biệt, và cuối cùng cắt tích phân tại các điểm hữu hạn và cho thấy (theo cách thông thường) rằng đóng góp từ các phần đuôi là không đáng kể.

Định lý. Để cho$k$ và $\Lambda$ là các số dương cố định, và $$ I(\lambda ) = \int_0^k {g(x,\lambda) e^{\lambda f_0 (x) + f_1 (x,\lambda )} dx} . $$ Giả định rằng

(Tôi) $f'_0 (x)$ liên tục và tiêu cực trong $(0,k]$, và như $x\to 0+$ $$ f_0 (x) = f_0(0) + F_0 x^\alpha + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 } ),\quad f'_0 (x) = \alpha F_0x^{\alpha - 1} + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 - 1} ), $$ Ở đâu $F_0<0$ và $\alpha _1 > \alpha > 0$.

(ii) Đối với mỗi$\lambda \in [\Lambda,\infty)$, các chức năng thực hoặc phức tạp $f_1(x,\lambda)$ và $g(x,\lambda)$ liên tục trong $0 < x \leq k$. hơn thế nữa $$ \left| {f_1 (x,\lambda )} \right| \le F_1 x^\beta \lambda ^\varepsilon ,\quad \left| {g(x,\lambda ) - G_0 x^{\gamma - 1} } \right| \le G_1 x^{\gamma _1 - 1} \lambda ^\delta , $$ Ở đâu $F_1,\beta,\varepsilon,G_0,\gamma,G_1,\gamma_1$ và $\delta$ độc lập với $x$ và $\lambda$, và $$ \beta \geq 0,\quad \gamma>0, \quad \gamma_1>0,\quad \varepsilon <\min(1,\beta/\alpha),\quad \delta < (\gamma_1-\gamma)/\alpha. $$

Sau đó $$ I(\lambda ) = \frac{{G_0 }}{\alpha }\Gamma\! \left( {\frac{\gamma }{\alpha }} \right)\frac{{e^{\lambda f_0 (0)} }}{{(|F_0| \lambda )^{\gamma /\alpha } }}\left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{{\lambda ^{\varpi /\alpha } }}} \right)} \right) $$ như $\lambda \to +\infty$, Ở đâu $$ \varpi = \min(\alpha_1-\alpha,\beta-\alpha \varepsilon,\gamma_1-\gamma-\alpha\delta).$$