Đánh giá $\int _0^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x\left(1+x^2\right)}\:dx$

Question

Làm thế nào để ghi lại đánh giá của $$\int _0^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x\left(1+x^2\right)}\:dx$$ Tôi có tích phân để trở thành $$\int _0^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x}\:dx-\int _0^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{1+x^2}\:dx$$ Nhưng tôi bị mắc kẹt, ai đó có thể cho tôi một gợi ý về cách tiếp tục không?

Answer 1

Ghi chú

$$ \int _1^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x\left(1+x^2\right)}\:dx \overset{x\to\frac1x} = \int _0^{1}\frac{x\ln \left(1+x^3\right)}{1+x^2}\:dx - \int _0^{1}\frac{3x\ln x}{1+x^2}\:dx $$

Sau đó

\begin{align} \int _0^{\infty }\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x\left(1+x^2\right)}\:dx & = \int _0^{1}\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x}\:dx - \int _0^{1}\frac{3x\ln x}{1+x^2}\:dx \\ & = \int _0^{1}\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x}\:dx +\frac32 \int _0^{1}\frac{\ln (1+x^2)}{x}\:dx \\ & = \frac13 \int _0^{1}\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}\:dt +\frac34\int _0^{1}\frac{\ln (1+t)}{t}\:dt \\ & = \frac{13}{12} \int _0^{1}\frac{\ln (1+t)}{t}\:dt \\ &= \frac{13}{12}\cdot \frac{\pi^2}{12}= \frac{13\pi^2}{144} \end{align}

$\int _0^{1}\frac{\ln (1+t)}{t}\:dt=\frac{\pi^2}{12}$

Answer 2

Sử dụng mánh khóe của Feynman.

$$I(a)=\int _0^{\infty }\frac{\log \left(1+a^3x^3\right)}{x\left(1+x^2\right)}\:dx$$ $$I'(a)=\int _0^{\infty }\frac{3a^2x^2}{\left(1+x^2\right) \left(1+a x^3\right)}\,dx$$ Sử dụng phép phân tích từng phần, viết tích phân $$\frac{a^2}{\left(a^2+1\right) (a x+1)}-\frac{3 \left(a^5 x+a^2\right)}{\left(a^2+1\right) \left(a^4-a^2+1\right) \left(x^2+1\right)}+\frac{(2 a^5-a^3) x-a^4+2 a^2}{\left(a^4-a^2+1\right) \left(a^2 x^2-a x+1\right)}$$ Tin học $I'(a)$ khá đơn giản và kết quả cuối cùng là $$I'(a)=\frac{2 \pi a}{\sqrt{3} \left(a^6+1\right)}+\frac{3 a^5 \log (a)}{a^6+1}+\frac{2 \pi a^3}{\sqrt{3} \left(a^6+1\right)}-\frac{3 \pi a^2}{2 \left(a^6+1\right)}$$

Chắc chắn, sự tích hợp với $a$ không phải là dễ chịu nhất nhưng mọi thứ đều đơn giản hóa ở giới hạn $$J=\int_0^1 I'(a)\,da=\Big[\frac{1}{144} \left(36 \left(\text{Li}_2\left((-1)^{1/3}\right)+\text{Li}_2\left(-(-1)^{2/3}\right) \right)-53 \pi ^2\right) \Big] -\Big[-\frac{4 \pi ^2}{9} \Big]$$ $$J=-\frac{17 \pi ^2}{48}+\frac{4 \pi ^2}{9}=\frac{13 \pi ^2}{144}$$