Giúp chứng minh hệ quả từ các tiên đề của phép cộng và phép nhân

Question

Trong khi đọc qua Phân tích 1 của Vladimir A. Zorich, tôi gặp phải bằng chứng này mà có 1 bước tôi không thể hiểu được. Đây là hệ quả và bằng chứng:

Cho mọi $x\in \mathbb R$ điều sau là đúng

$$-x=(-1)\cdot x$$

Bằng chứng. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. Giả thiết sau là tính duy nhất của âm của một số.

Kết thúc bằng chứng.

Phần bị đánh giá thấp là những gì tôi không hiểu. Tiên đề phép cộng và phép nhân nào đã được sử dụng để thực hiện biểu thức đó?

Answer 1

Lưu ý rằng $1\in\Bbb{R}$ là một phần tử đặc biệt của tập hợp với thuộc tính cho mọi $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Tiếp theo, chúng tôi cũng sử dụng luật phân phối cho tất cả$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Do đó, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {thuộc tính của$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {phân phối luật} \ end {align} Phần còn lại của bằng chứng sẽ theo sau khi bạn thiết lập điều đó cho mọi$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

chủ yếu là phân phối: $a(b+c) = ab + ac$.

Vì vậy, bằng chứng diễn ra như thế này:

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (bởi sự tồn tại và định nghĩa của nhân dạng nhân)

$=(1+(-1))\cdot x$ (theo phân phối)

$=0\cdot x$ (theo định nghĩa của nghịch đảo cộng)

$=x\cdot 0$ (tính phổ biến của phép nhân nhưng tôi không biết tại sao anh ta lại làm điều này)

$= 0$(Đây không phải là một tiên đề nhưng một mệnh đề có thể được chứng minh rằng$0\cdot x = 0$. Bạn đã chứng minh được điều đó chưa? Spivak có sử dụng điều đó như một tiên đề không?)

Sau đó, theo định nghĩa, chúng tôi có điều đó cho mọi $x$ tồn tại một duy nhất $-(x)$ vậy nên $x + (-x) = 0$.

Nếu chúng ta có một $a$ vậy nên $x + a = 0$ nó phải là $a=-x$vì nghịch đảo nhân là duy nhất. Như$x + (-1)x =0$ nó phải là $(-1)x = -x$.

======

Đề xuất: $x\cdot 0 = 0$.

Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Mọi yếu tố$a$, kể cả $x\cdot 0$, có một nghịch đảo phụ gia, $-a$, vậy nên $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ bởi vì $0$ là bản sắc phụ gia và $a +0 = a$ cho tất cả $a$, kể cả khi $a$ Là $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (phân phối)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (sự kết hợp)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (định nghĩa về nhận dạng phụ gia)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ cho tất cả $a$ theo định nghĩa của danh tính phụ gia.)