làm thế nào để chứng minh rằng phân đoạn $IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$$CD$ là các đường phân giác góc của $\triangle ABC$. $F$ là một điểm tùy ý trên dòng $DE$. Chứng minh rằng$GF+HF=IF$.

Tôi nhận thấy $3$tứ giác nội tiếp. Bất kỳ ý tưởng. Đây là hình ảnh

Trả lời

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

Xem xét Tọa độ Trilinear (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) đầu tiên trong trường hợp $F$ là bên trong tam giác $ABC$.

$D$$E$, là chân của các phân giác góc, có tương ứng. coord trilinear.$(1,1,0)$$(0,1,1)$. Do đó, phương trình tam giác của đường thẳng$DE$ Là:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Phiên dịch $(x=FG,y=FH,z=FI)$, chúng tôi nhận được:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( không phải là mối quan hệ đã cho! )

Bây giờ nếu $F$ không phải là bên trong tam giác $ABC$, đây là các trường hợp khác:

  • Trong trường hợp được mô tả trong hình đã cho ($F$ "ngay bên ngoài" $[DE]$ về phía $E$), chỉ một trong các tọa độ ba tuyến, $FG$, trải qua một sự thay đổi dấu hiệu; do đó (1) trở thành:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

tương ứng với mối quan hệ nhất định , lần này!

Nếu, trong trường hợp của hình đã cho, $F$ ở xa, sự thay đổi dấu hiệu thứ hai xảy ra, bây giờ cho khoảng cách đã ký $FH$, chuyển đổi (2) thành:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

đó là một công thức thứ ba.

  • nếu ngược lại, $F$ nằm ngoài đoạn thẳng $[D,E]$ nhưng về phía $D$, chúng ta phải thay đổi $FI$ thành đối lập của nó trong (1), cho lại quan hệ (3).

Nhận xét về mối quan hệ (0): chúng ta đã thu được nó bằng cách tính đến một hằng số nhân; điều này không quan trọng vì chúng ta giải quyết các mối quan hệ có số 0 ở phía bên phải của chúng.