$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ ngụ ý $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

Để cho $f$ là một hàm có thể đo lường Lebesgue trên $[0,1]$ với $f(x)>0$hầu như ở khắp mọi nơi
Giả sử rằng$\{E_k\}_k$ là một chuỗi các bộ có thể đo lường Lebesgue trong $[0,1]$ như vậy mà $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Cho thấy $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Observatioins của tôi:
Hãy$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
Sau đó $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$là một tập hợp có thể đếm được của các tập con có thể đo lường ngày càng tăng. Và$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Cũng như $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ là một chuỗi các tập hợp tăng dần, chúng ta có $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

Hơn nữa, riêng chúng tôi có

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Nhưng tôi không thể thấy cách sử dụng những chi tiết này để đi đến câu trả lời cuối cùng.
Đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn

Answer 1

Để cho $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Sau đó mỗi$B_n$ là một tập hợp có thể đo lường và $B=\cup B_n$có độ đo 1 theo giả định. Bây giờ, thước đo của$E_k\cap B_n$ đi tới $0$ như $k\to \infty$ Cho mọi $n$. Vì thế$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$