Mật độ lỗ khoan đặt ở 0

Question

Định lý mật độ Lebesgue nói rằng nếu $E$ là một tập hợp có thể đo lường Lebesgue, sau đó là mật độ của $E$ ở hầu hết mọi yếu tố của $E$ là 1 và mật độ của $E$ ở hầu hết mọi phần tử không có trong $E$ là 0.

Tuy nhiên, liệu rằng với mỗi $t$ giữa 0 và 1, có một bộ Borel $E$ có mật độ $t$ ở mức 0?

Tôi không biết làm thế nào để xây dựng một tập hợp như vậy cho một giá trị ngẫu nhiên của $t$. Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Answer 1

Đúng. Trong kích thước$\geq 2$ điều này là tầm thường, vì vậy tôi cho rằng chúng ta đang xem xét dòng thực.

Đưa ra một $n>0$ và $\alpha\in [0,1]$, đặt $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ và $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Đặt $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Sau đó, mật độ của$U_{n,\alpha}$ tại $0$ chính xác $\alpha$. Để xem điều này, hãy viết$m_r$ cho $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ và lưu ý rằng:

• nếu $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, sau đó $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• nếu $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, sau đó $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Gợi ý: Hãy $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Để cho $L_n$ là chiều dài của $I_n.$ Hết $I_n$ chúng tôi chọn một đánh giá phụ

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ là một "$t$-bite "trong số $I_n.$ Bộ $E=\cup J_n.$ Nếu tôi đang nghĩ về điều này đúng, chúng tôi sẽ có

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Hãy xem xét một dãy số $r_n \searrow 0$ như vậy mà $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Để cho$\theta$ là một biện pháp bảo vệ bản đồ từ $(0,r_1]$ đến $\mathbb R^2$ mất $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ đến $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Sau đó, hãy để$A$ là một 'miếng bánh' tập trung ở điểm gốc ở $\mathbb R^2$, với góc $\alpha$ở góc. Sau đó$\theta^{-1}(A)$ sẽ là một tập hợp với mật độ $\alpha/(4\pi)$ tại $0$.

Điều này sẽ cung cấp mật độ $0 \le t \le \frac12$. Để có được$\frac12 < t \le 1$, chỉ cần thêm $(-\infty,0]$.