Sơ đồ nút không xen kẽ
Bắt đầu bằng một đường cong khép kín, tự cắt nhau, nơi mọi chỗ băng qua đường đều là đường ngang. Bây giờ hình thành một cái gì đó giống như đối diện của một sơ đồ nút xen kẽ như sau. Bắt đầu từ bất cứ đâu, băng qua đường cong, và tại mỗi chỗ băng qua đường không có chủ ý trước đó, hãy đi qua / lên trên. Nếu nơi băng qua đã được ghé thăm trước đó, hãy rời khỏi chỉ định băng qua được chỉ định.
Hai ví dụ được hiển thị bên dưới. (a) rõ ràng là ẩn số. (b) cũng là ẩn số, có lẽ không rõ ràng như vậy.
Vòng tròn màu đỏ cho biết điểm bắt đầu, mũi tên chỉ hướng đi ngang.
Tôi mong đợi những sơ đồ này rõ ràng là đại diện cho điều không thể, nhưng tôi không thấy một bằng chứng rõ ràng. Vì thế:
Q . Chứng minh (hoặc bác bỏ) rằng biểu đồ nút thắt như vậy luôn biểu thị điều không tốt.
Trả lời
Một sơ đồ như bạn mô tả được gọi là sơ đồ giảm dần và thực sự luôn dẫn đến một nút thắt nhỏ. Để có một bằng chứng, hãy xem Bổ đề 3.2.10 củahttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. Câu trả lời trước có ý tưởng đúng.
Đây luôn là điều không hay. Tôi đã được cố vấn của mình giới thiệu về điều này nhưng tôi không nghĩ đó là lý lẽ ban đầu của ông ấy, vì vậy tôi không biết ai đã làm điều này đầu tiên.
Để thấy điều này, chúng ta sẽ sử dụng thực tế là số cầu của một nút là một và nút là số không.
Vẽ hình chiếu của nút thắt và chọn điểm bắt đầu của bạn. Chúng tôi sẽ biến hình chiếu này thành một biểu đồ bằng cách chỉ tạo ra các giao cắt khi chúng tôi đi qua hình chiếu. Nếu hình chiếu được vẽ trong$x,y$ máy bay ở đâu $z=0$, chúng ta có thể tạo ra một nút thắt trong $\mathbb{R}^3$ bằng cách làm cho mọi $i$-thông qua mới mà chúng tôi đến ở cấp độ $z=i$. Do đó, khi chúng ta đã gặp mọi chỗ băng qua đường trong hình chiếu và chuẩn bị quay lại chỗ băng qua đường đầu tiên, thì nút thắt trong không gian 3 của chúng ta phải lùi lại từ một điểm cao nào đó$z$ giá trị trở lại $z=0$.
Những gì chúng ta có là một hàm chiều cao, nơi nút thắt đang tăng lên ở bất kỳ đâu ngoại trừ đoạn nhỏ giữa đoạn băng qua cuối cùng và đoạn băng qua đầu tiên. Như vậy, có một cực đại và một cực tiểu và do đó một nút cầu số 1, ẩn số.
Tôi không chắc sẽ hữu ích như thế nào, vì tôi không phải là một chuyên gia, nhưng đây là một ý tưởng có thể đúng.
Đầu tiên, giới thiệu kích thước thứ ba, vuông góc với bản vẽ của bạn và đảm bảo điểm "ban đầu" là hình chiếu của một đoạn thẳng "lên". Sau đó, có thể đặt phần còn lại của nút để, trong khi đi dọc theo đường dây, bạn chỉ đi xuống. Hãy tưởng tượng một người trượt ván lái xe (với một cầu thang gần như thẳng đứng đi lên), và bạn sẽ hiểu rõ ý tôi muốn nói. Bây giờ điều này hơi gợn sóng, nhưng tôi tin rằng bạn có thể chỉ định độ cao cố định cho mỗi giao lộ, khi bạn đi qua chúng trên đường "xuống", và sau đó mở rộng đến tất cả các điểm khác trên nút. (Ví dụ: nếu phần "cầu thang" tăng từ chiều cao$0$ đến $1$, cho $n$ các giao lộ, khi bạn đi qua từng giao lộ hai lần, bạn có thể đặt trước độ cao $\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$ cho các điểm "giao nhau" trên nút.)
Phần còn lại nên là phép tính đơn giản để chỉ ra rằng nút thắt này có thể bị biến dạng thành không đáng có. Nếu phương trình của nút ban đầu (phần "trượt") được tham số hóa là$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, với $\rho(0)=\rho(1)=0$, sau đó làm biến dạng nó, cho $\lambda\in[0,1]$ thành $(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$. $\lambda=1$ đưa ra các nút ban đầu, trong khi $\lambda=0$ đưa ra một ẩn số rõ ràng trong $x-z$ máy bay.