Sự khác biệt giữa $\forall n\in\mathbb N$ và $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Thực sự bối rối về sự khác biệt giữa $\forall n\in\mathbb N$ và $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Trong phần Phân tích thông hiểu, tôi trích dẫn từ Bài tập 1.2.13. cái đó
Thật hấp dẫn để thu hút sự cảm ứng để kết luận $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
nhưng quy nạp không áp dụng ở đây. Quy nạp được sử dụng để chứng minh rằng một tuyên bố cụ thể phù hợp với mọi giá trị của$n\in\mathbb N$, nhưng điều này không bao hàm tính hợp lệ của trường hợp vô hạn.
Đã thực hiện một số nghiên cứu về điều đó trong một thời gian và hiểu rằng cuối cùng thực tế là tôi có thể chỉ ra $n\in\mathbb N$ có nghĩa là $n$là hữu hạn. Do đó, nó không thể áp dụng cho trường hợp vô hạn.
Vâng, tôi hiểu cơ sở lý luận. Nhưng nếu$\forall n \in\mathbb N$ không hoạt động, sau đó những gì hoạt động trên chứng minh trường hợp vô hạn?
Cũng như tôi cảm thấy thoải mái về sự khác biệt. Sự nhầm lẫn một lần nữa được đưa ra bởi cuốn sách và tôi trích dẫn phần sau, với hy vọng làm cho nó càng ngắn càng tốt:
Thuộc tính khoảng thời gian lồng nhau giả định rằng mỗi $I_n$ chứa đựng $I_{n+1}$. Chúng là một chuỗi các khoảng đóng lồng nhau được xác định như vậy.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
Phép chứng minh tập trung vào việc tìm một số thực x duy nhất thuộc về tất cả $I_n$ và nó lập luận rằng nó là supA.
Trong bằng chứng, nó nói $x\in I_n$, cho mọi lựa chọn $n\in\mathbb N$. Vì thế,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ và ngã tư không trống.
Hãy cho tôi biết nếu cần chi tiết bị bỏ sót. Tuy nhiên, quan điểm của tôi chỉ là:
- Tại sao trong quy tắc của de morgan vô hạn $\forall n\in\mathbb N$ không áp dụng cho $\infty$
- Tại sao trong thuộc tính khoảng thời gian lồng nhau $\forall n\in\mathbb N$ áp dụng đối với $\infty$
Trả lời
$\forall n\in\Bbb N$ không bao giờ áp dụng cho$\infty$, bởi vì $\infty$ không phải là một phần tử của $\Bbb N$. Trong định lý khoảng lồng nhau không có $I_\infty$. Những gì chúng tôi biết là$x\in I_n$ cho mỗi $n\in\Bbb N$, và do đó theo định nghĩa $n$ nằm trong giao điểm của các bộ $I_n$. Bạn có thể gọi đây là giao lộ$I_\infty$ nếu bạn muốn làm như vậy, nhưng đó sẽ là một lựa chọn tùy ý hoàn toàn độc lập với đối số quy nạp liên quan đến các tập hợp $I_n$; bạn cũng có thể gọi nó là George. (Nhiều năm trước, một người bạn của tôi trên thực tế đã xuất bản một bài báo về một đối tượng toán học mà anh ấy đặt tên là George.)
Đối với định luật De Morgan, người ta chứng minh điều đó cho các họ tập hợp tùy ý đơn giản bằng cách chỉ ra rằng mỗi bên của danh tính được đề xuất là một tập con của bên kia. Điều này được thực hiện đối với các nhóm được lập chỉ mục tùy ý của các tập hợp ở đây và trong câu trả lời này (và có thể cả những nơi khác tại MSE). Chứng minh không phụ thuộc vào định lý đối với các họ tập hợp hữu hạn và không liên quan đến bất kỳ loại quy nạp nào.
Quy tắc De Morgan thực sự hoạt động cho các tập hợp vô hạn. Nhưng điều này không thể được chứng minh bằng cách quy nạp trên phiên bản hữu hạn của Quy tắc De Morgan, vì quy nạp là một công cụ để chứng minh rằng một tuyên bố là đúng với một giá trị lớn tùy ý của$n$ (nhưng $n$ vẫn là hữu hạn).
Đối với giao của một số bộ vô hạn đếm được, điều này tuân theo định nghĩa. Chúng tôi nói rằng$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ cho tất cả $n \in \mathbb N$.