Tập hợp các giá trị riêng của toán tử bị giới hạn trên không gian Hilbert có thể phân tách có thể đếm được không?

Question

Phổ của một toán tử thường không đếm được, nhưng xin lưu ý rằng câu hỏi đề cập đến các giá trị riêng .

Điều này nổi tiếng đối với các toán tử tự liền kề, nhưng tôi không thấy kết quả mở rộng ra sao ngoài trường hợp đó.

Câu hỏi tương tự cũng có ý nghĩa đối với các không gian Banach có thể phân tách.

Answer 1

Câu hỏi tương tự được hỏi và trả lời trên mathoverflow tại đây . Toán tử dịch chuyển ngược$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ Được định nghĩa bởi $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$Làm công việc. Cho mọi$\lambda \in \mathbb{C}$ với $|\lambda|<1$, dãy hình học $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ là tích phân bình phương và thỏa mãn $T v = \lambda v$.