Tất cả các dạng đối xứng song tuyến không sinh trên không gian vectơ phức đều là dạng đẳng cấu

Question

Tất cả các dạng đối xứng song tuyến không sinh trên không gian vectơ phức đều là dạng đẳng cấu. Điều này có nghĩa là cho một dạng đối xứng song tuyến không sinh trên không gian vectơ phức mà bạn có thể chọn cơ sở cho không gian vectơ sao cho biểu diễn ma trận của dạng song tuyến là ma trận nhận dạng? Ai đó có thể giúp giải thích cho tôi tại sao lại như vậy không?

Tôi đang nghĩ rằng một ma trận với các mục nhập trong $\mathbb{C}$sẽ có một phương trình đặc trưng phân chia thành các thừa số tuyến tính (với số nhân) và như vậy sẽ có thể phân tích theo đường chéo, nhưng vẫn không thể ghép các phần này lại với nhau. Thông tin chi tiết được đánh giá cao!

Answer 1

Câu trả lời là có.

Đầu tiên, một bằng chứng rằng các dạng song tuyến là đẳng cấu. Lưu ý rằng nó đủ để chứng minh rằng điều này được duy trì$\Bbb C^n$.

Đầu tiên, tôi khẳng định rằng mọi ma trận đối xứng, phức tạp, khả nghịch đều có thể được viết dưới dạng $A = M^TM$ cho một số ma trận phức tạp $M$. Ví dụ, điều này có thể được coi là hệ quả của việc phân tích nhân tử Takagi .

Bây giờ, hãy $Q$ biểu thị một dạng song tuyến đối xứng qua $\Bbb C^n$, và để $A$ biểu thị ma trận của nó theo nghĩa $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Để cho$Q_0$ biểu thị dạng song tuyến chuẩn được xác định bởi $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Chúng tôi viết$A = M^TM$ cho một số ma trận phức có thể đảo ngược $M$.

Định nghĩa $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ bởi $\phi(x) = Mx$. Thật dễ dàng để xác minh rằng$\phi$ là một đẳng tích của không gian tích song tuyến, do đó hai không gian thực sự là đẳng tích.

Với tất cả những gì đã thiết lập: chúng ta có thể thấy rằng sự thay đổi của cơ sở $y = Mx$ có phải như vậy không $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.