Tiên đề khối lượng trên số hợp lý

Aug 17 2020

Có một hàm giá trị thực mở rộng không âm trên các tập con của $\mathbb{Q}^3$ đó là phụ gia hoàn toàn trên các tập rời rạc, dịch bất biến và kết quả đầu ra $(\text{length} \times \text{width} \times \text{height})$cho hộp? Đó là một kết quả đáng chú ý của lý thuyết đo lường Lebesgue rằng không có chức năng nào có tính cộng tính đáng kể tồn tại trên$\mathbb{Q}^3$ hoặc là $\mathbb{R}^3$. Tôi đang tự hỏi liệu điều này có đúng với các hàm bộ phụ gia hoàn toàn không$\mathbb{Q}^3$. Nếu vậy, có vẻ như có một trở ngại cơ bản nào đó đối với việc hình thức hóa khái niệm trực quan về khối lượng.

Trả lời

4 AlexRavsky Sep 10 2020 at 08:59

Tôi đoán cho mỗi tự nhiên $n$ chúng ta có thể xác định một chức năng bắt buộc $\mu$ trên $\Bbb Q^n$như sau. Để cho$G=\Bbb Q^n/\Bbb Z^n$ là nhóm thương số và $q:\Bbb Q^n\to G$là phép đồng cấu thương số. Nhóm$G$ là Abelian và vì vậy nó có thể điều chỉnh được (ví dụ: xem Hệ quả 2.9 từ [Cấm]), nghĩa là $G$ thừa nhận một biện pháp phụ gia thay đổi bất biến $\nu$, như vậy mà $\nu(G)=1$. Đối với mỗi tập hợp con$A$ của $\Bbb Q^n\cap [0,1)^n$ đặt $\mu(A)=\nu(q(A))$. Bây giờ hãy để$A$ là bất kỳ tập hợp con nào của $\Bbb Q^n$. Sau đó$A=\bigcup \{A_{x}:x\in \Bbb Z^n\}$, Ở đâu $A_x=(x+[0,1)^n)\cap A$ cho mỗi $x\in\Bbb Z^n$. Đặt$\mu(A)=\sum_{x\in\Bbb Z^n}\mu(A_x-x)$.

Tôi đoán nếu $A$ là một hộp thì giá trị chính xác của $\mu(A)$ có thể được hiển thị như sau.

Bổ đề. Cho mỗi$k=1,\dots,n$, mỗi $y\in Q$, $\mu(A\cap H)=0$, Ở đâu $H $ là một siêu phẳng $\{(x_1,\dots, x_n)\in\Bbb Q^n:x_k=y\}$.

Bằng chứng . Cho mỗi$x\in\Bbb Z^n$ và mỗi tự nhiên $N$, nhóm $G$ chứa đựng $N$ bản sao rời rạc $g_1+q((A\cap H)_x-x), g_2+q((A\cap H)_x-x),\dots, g_N+q((A\cap H)_x-x)$ của một bộ $ q((A\cap H)_x-x)$ cho một số yếu tố $g_1,\dots,g_N\in G$. Từ$\mu$ là thay đổi bất biến và phụ gia hoàn toàn, nó theo sau đó $\mu q((A\cap H)_x-x)\le 1/N$.

Bây giờ nếu $A$ là một hộp sau đó mỗi $A_x$ là một hộp (có thể, không có "ranh giới" của nó) nên giá trị chính xác của $\mu(A)$ nên tuân theo tính hữu hạn của một tập hợp $X=\{ x\in\Bbb Z^n: A_x\ne\varnothing\} $, cộng hữu hạn của $\mu$và các giá trị chính xác của $\mu(A_x)$ cho mỗi $x\in X$. Cái sau phải tuân theo sự cộng hưởng hữu hạn của cả hai$\mu$ và $\nu$, các giá trị chính xác của $\mu(B)$ khối cơ bản $B$ của hình thức $B=\Bbb Q^n\cap \prod [r_i/s_i, (r_i+1)/s_i$, ở đâu cho mỗi $i$, $0\le r_i<s_i$ là bất kỳ số nguyên nào và một phân vùng của tập hợp $A_x$ thành một liên hợp các khối cơ bản (cho đến ranh giới của chúng).