Tìm công thức cho một phép biến đổi tuyến tính [đóng]

Question

Tìm một ví dụ về công thức biến đổi tuyến tính $\varphi$ vậy nên:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

Làm thế nào để tiếp cận vấn đề như vậy? Cách chuẩn nhất để được đánh giá cao.

Answer 1

$\varphi$ là một phép biến đổi tuyến tính $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, vì vậy ma trận $A$ đại diện $\varphi$ (đối với cơ sở tiêu chuẩn) là $3$ bởi $4$. Bây giờ nếu$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ sau đó mọi thứ trong hạt nhân của $A$ là trực giao với $(1,-1,6,2)$, vậy hãy đặt $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Chúng tôi chưa hoàn thành, vì chúng tôi chưa chỉ định các mục nhập còn lại. Nhưng điều này không khó, vì chúng tôi biết$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ điều này ngụ ý rằng tất cả các vectơ cột là bội số vô hướng của $(2,3,1)$. Vì vậy, ví dụ: cột đầu tiên chỉ là$1/2$ lần $(2,3,1)$, mang lại $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ Tiếp tục logic này, chúng ta có thể điền vào ba cột cuối cùng tương tự, cho chúng ta $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ Bây giờ chúng ta đã hoàn thành.

Answer 2

Quan sát điều đó $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ là tập hợp tất cả các vectơ có dạng $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ Ở đâu $y,z$ và $t$chạy trên tất cả các số thực. Vì vậy, hãy chọn một bản đồ tuyến tính$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ như vậy mà $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ và $\varphi(v) = (2,3,1)$ cho một số $v \in \mathbb R^4$ không nằm trong khoảng $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

Answer 3

Ma trận sau đây mô tả một ma trận như vậy: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.