Tìm vùng lân cận được chỉ định trên Manifold

Aug 15 2020

Cho một đa tạp trơn, chứng minh rằng đối với một tập mở $U\subset M$ chúng ta luôn có thể tìm thấy một tập hợp đã đóng $\bar{B}\subset U$ như vậy mà $B$ là một vùng lân cận của một số điểm $p\in U$.

Cố gắng của tôi: kể từ $M$ có cơ sở của quả bóng thường xuyên, có tồn tại $B\subset U$ đó là bóng thông thường, vì vậy hãy tồn tại một $B'$ như vậy mà $\bar{B}\subset B'$. Nhưng làm thế nào để hiển thị nó được chứa trong$U$?

Trả lời

2 AlekosRobotis Aug 15 2020 at 20:29

Chọn $p\in U$ và chọn một quả bóng tọa độ $V\ni p$ với $V\subseteq U$. Chúng ta có thể chọn quả bóng này để có sự khác biệt$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Sau đó, thiết lập $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, và sau đó lưu ý rằng $\overline{W}\subseteq U$ và điều đó $W$ là một khu phố của $p$.

Lưu ý: sự lựa chọn đầu tiên của $V$ là có thể vì có cơ sở bởi các tập hợp mở tọa độ.