Tính tích cực của một nhà điều hành

Question

Xem xét một chức năng $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ Của Lớp $C^1$. Nếu$f(0)=0$ và $f'(0)>0$ rõ ràng là có một số $t_0>0$ như vậy mà $f(t_0)>0$.

Bây giờ nếu $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ Của Lớp $C^1$, Ở đâu $\mathcal{M}^{n\times n}$ là có thật $n\times n$ ma trận, nếu $f(0)=0$ và nếu $f'(0)$ là một ma trận xác định đúng dương, một lần nữa sẽ có $t_0$ như vậy mà $f(t_0)$ là một ma trận xác định đúng dương.

Câu hỏi đặt ra là nó có đúng ngay cả với các nhà khai thác không? Đặc biệt, hãy$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ Của Lớp $C^1$, Ở đâu $\mathcal{O}$ là tập hợp các toán tử tự liên kết nhỏ gọn trên một số không gian Hilbert phân tách $\mathcal{H}$. Để cho$f(0)=0$ và giả sử rằng $f'(0)$ là một toán tử tự liên kết tích cực nhỏ gọn, có đúng là phải có một $t_0$ như vậy mà $f(t_0)$ tích cực?

Answer 1

Không. Counterexample: Let $H = \ell^2$ và $M : H \to H$ được đưa ra bởi

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Sau đó $M$là compact (giới hạn của toán tử hạng hữu hạn), tự liền kề và tích cực. Tiếp theo hãy$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ là một hàm lẻ mượt mà để

• $\varphi(t) = t$ trên $[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$ đang giảm trên $[1.1, 2]$ và
• $ \varphi(t) = 0$ trên $[2, \infty)$.

Cho mỗi $n$, định nghĩa $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Định nghĩa$ M_t:=f(t)$ bởi $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Sau đó $M_0 = 0$ và mỗi $M_t$là tự liền kề, hạng hữu hạn (do đó không dương). Cũng thế,$f$ Là $C^1$. Thật vậy, người ta có thể kiểm tra rằng$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ Từ $\varphi_n'(0)=1$ cho tất cả $n$, chúng ta có $f'(0) = M$.