Tính tổng mômen động lượng của vật quay quanh 2 trục (ví dụ Trái đất)
Hãy xem xét Trái đất. Nó quay quanh trục của chính nó (đi qua các cực) với một vận tốc góc nào đó$\vec\omega$và xung quanh mặt trời, với một số vận tốc góc $\vec\Omega$.
Trong mọi sách giáo khoa / trang web mà tôi đã xem cho đến nay, tôi đã thấy mô men động lượng do quay quanh mặt trời được tính toán tách biệt với mômen động lượng do Trái đất quay quanh trục của chính nó.
Tuyệt quá. Nhưng làm thế nào để tôi có được mômen động lượng hoàn chỉnh của trái đất?
Tôi biết câu trả lời sau: Động lượng góc của vật thể quay và quay (trái đất) , nhưng tôi không nghĩ nó trả lời câu hỏi. Câu trả lời sử dụng vận tốc góc$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- nhưng làm thế nào bạn có thể đạt được vận tốc đó nếu vật quay quanh 2 trục? Định lý quay của Euler sẽ không được áp dụng, bởi vì một trong các trục không nằm trên vật thể.
Do đó, tôi sẽ đặt lại câu hỏi: Cho một vận tốc góc quay quanh quỹ đạo $\vec\Omega$ và vận tốc góc về trục của trái đất $\vec\omega$, làm thế nào tôi có thể tìm tổng động lượng góc của Trái đất (hoặc một vật thể hiện mô tả chuyển động quay tương tự với 1 trục quay trên vật thể, trục quay kia bị lệch)?
Trả lời
Đầu tiên, hãy xem xét rằng quay của Trái đất là một góc với trục quỹ đạo.
Đây $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Phép quay kết hợp (được đặt tiêu đề về trục x âm từ trên xuống) là
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
có thể được dịch sang
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Điều thú vị là bạn có thể tính toán tâm quay tức thời của trái đất so với trái đất $(c_y,c_z)$ ($c_z$hiển thị âm dưới đây). Đây là điểm mà trái đất thực sự quay.
Để tìm điểm, hãy tính tốc độ quỹ đạo ( trục x dương nằm ngoài trang)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
và sau đó là tâm quay
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
điều thú vị khi xét theo đơn vị khoảng cách mặt trăng (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
mà hầu như là một LD đối với mặt trời luôn luôn, và một nửa LD dưới mặt đất vào hạ chí, và một nửa LD trên trái đất vào đông chí.
Bây giờ động học của trái đất đã được thiết lập, chúng ta có thể nói về động lực học.
Trái đất đang quay với $\vec{w}$ và do đó mô men động lượng của nó tại tâm trái đất là $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ Ở đâu ${\rm I}_E$ là mômen quán tính khối lượng của trái đất.
Nhưng vì trái đất cũng chuyển động nên nó có động lượng tuyến tính $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Để tính momen động lượng của trái đất đối với mặt trời, ta kết hợp cả hai đại lượng theo quy tắc sau
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Nếu bạn thực hiện phép tính, bạn sẽ tìm thấy phần lớn mômen động lượng dọc theo trục z , với một thành phần nhỏ dọc theo trục y .
Điều thú vị là bạn có thể tìm thấy vị trí trong không gian mà trục bộ gõ của trái đất đi qua. Tương tự như trên, điểm này là
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Ý nghĩa của điểm này trong không gian là nếu bạn áp dụng một động lượng bằng nhau và ngược chiều $\vec{p}$đến trái đất thông qua trung tâm của bộ gõ, trái đất sẽ không chỉ ngừng quay quanh quỹ đạo mà còn ngừng quay . Bạn có thể loại bỏ tất cả động năng của trái đất bằng một xung lực thông qua điểm này. Nó sẽ dừng trái đất trên đường ray của nó.
Đáng ngạc nhiên là quy tắc cộng hai vận tốc góc không phụ thuộc vào việc "trục của những vận tốc góc" có đi qua vật hay không, và chúng có cắt nhau hay không.
Vận tốc góc của một vật không phụ thuộc vào việc bạn chọn hệ quy chiếu quán tính. Giả sử chúng ta có một số mũi tên gắn vào cơ thể; vào lúc này$t_0$ mũi tên này chỉ đến một ngôi sao xa xôi $A$; vào lúc này$t_1$ mũi tên này chỉ đến một ngôi sao xa xôi khác $B$- tốt, nếu nó đúng, hơn nó đúng trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Và định hướng của cơ thể thay đổi nhanh như thế nào - điều đó không phụ thuộc vào hệ quy chiếu (miễn là hệ quy chiếu là quán tính).
Bây giờ chúng ta hãy đo tổng vận tốc góc của Trái đất. Trước tiên có thể đo nó trong hệ quy chiếu gắn với Mặt trời và quay theo cách sao cho vận tốc của Trái đất bằng không. Giả sử vận tốc góc của Trái đất trong hệ quy chiếu này là$\vec\omega$. Vận tốc góc của hệ quy chiếu là$\vec\Omega$, vậy tổng vận tốc góc của Trái đất là $\vec\omega + \vec\Omega$. Nó là một vectơ hướng về sao Cực, độ lớn của nó xấp xỉ$1/86164sec$ - trong đó 86164 là số giây trong ngày cận kề, đó là chu kỳ quay của Trái đất so với các ngôi sao ở xa.
Bây giờ đến phần thứ hai của câu hỏi của bạn: "Trong mọi sách giáo khoa / trang web mà tôi đã xem cho đến nay, tôi đã thấy momen động lượng do quay quanh mặt trời được tính riêng với momen động lượng do Trái đất quay quanh trục của chính nó. "
Lúc này hệ quy chiếu được gắn với Mặt trời và nó có quán tính. Cách "công bằng" để tính tổng mômen động lượng của Trái đất trong hệ quy chiếu này là chia Trái đất thành nhiều phần nhỏ, tính mômen động lượng của từng phần và cộng lại kết quả. Cách dễ dàng hơn sẽ là tính toán động lượng xung quanh khối tâm của Trái đất, hơn là tính động lượng của Trái đất như thể tất cả khối lượng của nó đều nằm trong khối tâm của nó và cộng hai vectơ này. Tổng kết quả sẽ giống nhau - đó là một định lý toán học đơn giản.
Lưu ý rằng động lượng do Trái đất quay quanh trục của nó nhỏ hơn nhiều so với động lượng do quay của Trái đất quanh Mặt trời. Quan trọng hơn, không chỉ tổng động lượng của Erath (tức là tổng của hai vectơ này) là không đổi theo thời gian, mỗi một trong những thành phần này cũng không đổi! (chúng tôi bỏ qua ảnh hưởng của Mặt trăng và các hành tinh khác). Vì vậy, nếu bạn muốn tính toán chi tiết vận tốc của Trái đất phụ thuộc vào khoảng cách đến Mặt trời như thế nào (định luật Keppler) - bạn có thể bỏ qua phần "quay quanh trục của chính mình" một cách an toàn của mômen động lượng của Trái đất.