Trực giác về lý do tại sao một vùng lân cận mở về danh tính trong một nhóm Nói dối tạo ra toàn bộ nhóm Nói dối
Trực giác về lý do tại sao một vùng lân cận mở về danh tính trong một nhóm Lie được kết nối tạo ra toàn bộ nhóm Lie.
chỉnh sửa: Tôi nghĩ bằng chứng tiêu chuẩn cho điều này là cho thấy rằng nhóm con được tạo bởi bất kỳ vùng lân cận mở nào đều là một nhóm con mở và đóng của $G$ và do đó là tất cả $G$ từ $G$đã kết nối. Ai đó có thể giải thích cho tôi một lời giải thích khái niệm hơn về lý do tại sao kết quả này phải đúng không?
Trả lời
Hãy để tôi trình bày một bằng chứng thay thế, nghe có vẻ trực quan hơn đối với tôi - hy vọng nó sẽ giúp ích cho bạn. Bằng chứng phải tự nó rõ ràng, nhưng tôi sẽ thêm một lời giải thích chi tiết về trực giác ở phần cuối.
Một nhóm Lie được kết nối là đường dẫn được kết nối.
Để cho $U$là khu phố của bạn. Lên đến lấy$U\cap U^{-1}$, chúng tôi có thể cho rằng $U$ là đối xứng.
Để cho $\gamma : [0,1]\to G$ là một con đường từ $e$ đến bất kỳ phần tử nào $x$; và cho mọi$t\in[0,1]$, để cho $U_t$ là một khoảng mở đủ nhỏ của $[0,1]$ chứa đựng $t$ như vậy mà $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$. Điều này tất nhiên là có thể, vì$\gamma(t)U$ là một khu phố của $\gamma(t)$.
Sau đó $\bigcup_t U_t = [0,1]$ vì vậy bởi sự nhỏ gọn, có $0<t_1<...<t_n<1$ như vậy mà $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$.
Nhưng sau đó (với $t_0=0,t_{n+1}=1$), cho mỗi $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ phải chứa một số yếu tố $s_i$ (điều này là do $[0,1]$ được kết nối và tôi đã chọn khoảng thời gian).
Sau đó $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$.
$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$và tương tự, $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$.
Vì thế $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$. Tất nhiên sau đó chúng tôi có thể giới thiệu$n$ và đạt được điều đó $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, nhưng đó là điều hiển nhiên: $x\in \langle U\rangle$.
Bây giờ trực giác đằng sau này chứng minh là nếu bạn vẽ một đường đi từ$e$ đến $x$, cho mỗi giá trị đủ nhỏ của $\epsilon$, $\gamma(t)$ và $\gamma(t+\epsilon)$ sẽ chỉ khác nhau ở một số điểm $U$ (hoặc là $U^{-1}$).
Nhưng bởi sự nhỏ gọn của $[0,1]$, giá trị cần thiết của $\epsilon$ bằng cách nào đó được giới hạn bên dưới (vì vậy chúng tôi nhận được phân vùng của chúng tôi $t_1<...<t_n$), và điều này cho phép chúng tôi thực hiện những bước nhảy đủ lớn khi ở trong $U$và cuối cùng là ở trong nhóm con được tạo bởi $U$ nếu chúng ta chỉ ghi lại các bước nhảy.
Điều này liên quan đến cách $G$ là một không gian "đồng nhất": khoảng cách giữa hai phần tử có thể được coi là khoảng cách giữa $e$và một số yếu tố khác; vì vậy điều này cho phép người ta giảm bớt rất nhiều câu hỏi thành những câu hỏi cục bộ xung quanh$e$