Tương quan như góc giữa các vectơ
Tôi hơi bối rối về cách giải thích hình học của mối tương quan là góc giữa hai biến ngẫu nhiên. Giả sử$X$ và $Y$ là hai biến có giá trị trung bình $0$ và không gian trạng thái $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. Sau đó$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ Và mối tương quan $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ Tôi không hiểu đây là góc như thế nào giữa hai vectơ trừ khi tôi xác định hai vectơ $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ trong trường hợp đó tôi thấy điều đó $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ Ở đâu $\theta$ là góc giữa $x$ và $y$. Đây có phải là cách đúng để giải thích (như xác định vectơ giá trị của mỗi trạng thái có trọng số bằng căn bậc hai của xác suất liên kết)?
Trả lời
Điều này gần như chính xác. Để đưa ra một diễn giải hình học như vậy, người ta cần tiến hành chính xác như bạn đã làm và xác định hai điều:
- Làm thế nào một biến ngẫu nhiên được hiểu là một vectơ?
- Tích vô hướng (hoặc độ dài và góc tương đương) giữa các vectơ đó được xác định như thế nào?
Giải thích cho 1. chỉ là giải thích tiêu chuẩn của các hàm dưới dạng vectơ. Tức là các biến ngẫu nhiên ánh xạ không gian trạng thái thành$\mathbb{R}$do đó chúng là các vectơ chẳng hạn như mọi hàm thực khác. Trong trường hợp của bạn, không gian trạng thái là hữu hạn do đó không gian vectơ là chiều hữu hạn. Bạn có thể xác định nó với$\mathbb{R}^3$chính xác như bạn đề xuất nhưng bạn không kết hợp các xác suất! Tức là biến ngẫu nhiên của bạn$X$ liên quan đến vector $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$
Xác suất chỉ nhập cho 2: Quan sát rằng kỳ vọng của tích số không có nghĩa là các biến ngẫu nhiên $\mathbb{E}[XY]$ đáp ứng tất cả các điều kiện của một tích vô hướng, nó là song tuyến tính, đối xứng (khá rõ ràng) và không sinh ra vì $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ae
Vì vậy, bạn chỉ cần xác định $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ và đã sẵn sàng để đo góc!