Xác suất ở trong một nhóm trong một đội

Question

Mới đi học cũng được một thời gian rồi nên môn toán của tôi thật là lục đục.
Có một trò chơi mà tôi đã chơi trong đó có một nhóm mười người chơi và hai người được chọn ngẫu nhiên làm "kẻ mạo danh".
Xác suất để tôi được chọn là một trong những kẻ mạo danh là bao nhiêu?

Tôi lý luận nó là:
Số cách để tôi trở thành kẻ mạo danh =$\binom{1}1$.
Số cách để người thứ hai được chọn làm người đóng giả =$\binom{9}1$.
Tổng không gian mẫu =$\binom{10}2\binom{8}8$.

Vì vậy, xác suất tôi là kẻ mạo danh là $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$

Khi tôi nhìn vào $m$ những kẻ mạo danh và $n$ người chơi, tôi đã sử dụng cùng một logic để có được xác suất cuối cùng là $\frac{m}{n}$. Vì lý do nào đó, tôi không mong đợi kết quả này (đơn giản là nó sẽ là một tỷ lệ phẳng). Có một số trực giác cho điều này? Tôi mong đợi kết quả ít hơn$m/n$, vì dường như có rất nhiều hoán vị để chọn một nhóm $m$ những kẻ mạo danh, (ví dụ: nếu $m = 10$, $n = 140$)

Answer 1

Tử số không chính xác: Bạn đang tìm cách mà bạn là một trong những kẻ mạo danh. Có 9 khả năng, cụ thể là bạn và người khác, trong đó người khác được chọn trong số 9 người. Lưu ý rằng thứ tự của bạn và người kia không quan trọng, vì vậy bạn chỉ cần chọn người kia là đủ.

Chỉnh sửa: Nói chung, bạn có $n$ mọi người (kể cả bạn) và $m$ những kẻ mạo danh.

Xác suất bạn là kẻ mạo danh là: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Tử số lại là số kẻ mạo danh ngoại trừ bạn và mẫu số lại là sự lựa chọn của những kẻ mạo danh mà không có bất kỳ ràng buộc nào liên quan.

Điều này, theo quan điểm của tôi, thực sự rất trực quan - trong số n người thì có m là kẻ mạo danh, vì vậy bạn có $m/n$xác suất trở thành kẻ mạo danh. Đây là đại loại như “Cứ 300 người thì có 1 người bị Coronavirus, vì vậy xác suất bạn mắc phải (theo quan điểm rất khách quan - tôi hoàn toàn không biết bạn) là 1/300.