Bằng chứng tính toán tensor của điểm Torricelli?
Trong bài giảng video này về phép tính tensor, vào khoảng 2:36, anh ấy lấy gradient của một "hàm độ dài" hình học tăng ra ngoài theo hướng độ dài. Nhưng tôi không hiểu hướng gradient nên ở trong? các điểm khác nhau có độ dốc khác nhau không? Và chính xác thì kỹ thuật để xác định một hàm từ ba điểm là gì?
Tôi nghĩ đến việc xây dựng cố gắng mô tả những gì anh ấy đã làm bằng cách sử dụng tọa độ như sau:
Lấy ba điểm $ A_1,A_2,A_3$
Bây giờ, từ ba điểm cố định này, chúng ta lấy một điểm trong tam giác $ (x,y)$
Để cho $d(A_i(x,y))$ là khoảng cách của điểm của chúng ta từ đỉnh A Mục tiêu của chúng ta là giảm thiểu:
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
Giả sử chúng ta lấy gradient của cả hai bên và đặt bên trái thành 0, chúng ta nhận được,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
hoặc là,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
Và điểm mà ba vectơ đơn vị của $ d(A_i (x,y))$đi đến số 0 là điểm Torricelli của chúng tôi, Nhưng tôi không hiểu cách anh ta xác định các hàm dựa trên khoảng cách từ đỉnh. Các kỹ thuật chính xác của điều này là gì?
Hơn nữa, tôi không thể tìm thấy một bằng chứng tương tự trên mạng, đây không phải là một bằng chứng được ghi chép đầy đủ?
Chỉnh sửa: Suy nghĩ kỹ hơn, tôi có thể sử dụng một phương pháp tương tự để tìm 'điểm Torricelli' của các hình phức tạp hơn không? có vẻ như nó có thể dễ dàng thực hiện được bởi cùng một nguyên tắc.
Ví dụ, việc tìm 'điểm toricelli' của ngũ giác rút gọn thành bài toán tìm cách sắp xếp 5 vectơ đơn vị sao cho tổng của chúng bằng 0 như hình dưới đây. Nói thêm, làm thế nào người ta thường tìm thấy một sự sắp xếp như vậy thêm vào số không?
Trả lời
Có rất nhiều câu hỏi. Hãy thử lập một danh sách.
- "các điểm khác nhau có độ dốc khác nhau không?"
Có, họ có. Gradient của một hàm là một trường vectơ, nghĩa là vectơ thay đổi dạng từ điểm này sang điểm khác.
- "Nhưng tôi không hiểu hướng gradient nên ở trong?"
"Tôi không hiểu rõ cách anh ta xác định các hàm dựa trên khoảng cách từ đỉnh. Chính xác thì kỹ thuật của nó là gì?"
Về mặt hình học, chúng ta có 2 thuộc tính của gradient:
a) Gradient chỉ theo chiều của hàm số tăng nhanh nhất.
Đối với hàm "khoảng cách đến O", hướng tăng nhanh nhất tại một số P (theo câu trả lời của phần 1, điều này sẽ thay đổi khi P thay đổi) là hướng di chuyển dọc theo tia OP, "ra khỏi O". Một lần nữa, hướng này thay đổi khi chúng ta thay đổi P.
b) Kích thước của gradient là sự thay đổi của hàm trên mỗi bước theo hướng của gradient (trong giới hạn của các bước rất nhỏ).
Đối với "khoảng cách từ O", điều này đang nói là chúng ta nên tính xem "khoảng cách từ O" thay đổi bao nhiêu khi chúng ta thực hiện một bước kích thước $\Delta$dọc theo tia OP. Câu trả lời là$\Delta$. Tỷ lệ tăng của hàm theo kích thước bước là 1. Do đó vectơ gradient có độ dài 1 (với P bất kỳ).
Ngoài ra, bạn có thể viết $f(P)=|OP|$và lấy gradient. Giả sử O là điểm có tọa độ (cố định)$(x_0, y_0)$ và $P$ có tọa độ thay đổi $(x, y)$.
Để tính toán gradient của $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ chúng tôi sử dụng thực tế rằng khoảng cách bình phương là một hàm đẹp hơn khoảng cách ( $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, do đó đa thức bậc hai). Vì vậy, chúng tôi sử dụng quy tắc chuỗi,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; và$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Cùng nhau điều này cho$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, hay còn gọi là vectơ đơn vị hướng ra dọc theo tia OP, giống như chúng ta đã nhận được từ lập luận hình học ở trên.
- "Tôi có thể sử dụng một phương pháp tương tự để tìm 'điểm Torricelli' của các hình phức tạp hơn không?"
Chà, phần mà 'điểm Torricelli' là phần mà các vectơ đơn vị từ điểm đến đỉnh có tổng bằng 0 thực sự giống nhau và vì lý do tương tự. Vấn đề là đối với 3 vectơ, cách duy nhất có thể đúng là tất cả đều có góc 120 giữa bất kỳ cặp vectơ nào - do đó điểm Torricelli phải có tính chất "120 độ" này. Đối với bất kỳ số lượng vectơ nào cao hơn, có vô số cấu hình có thể có của các vectơ đơn vị có tổng bằng không. Vì vậy, điều kiện "tổng vectơ bằng không" ít hạn chế hơn nhiều. Nó phải được kết hợp theo một cách nào đó không tầm thường với điều kiện là các vectơ này hướng từ P đến các đỉnh của đa giác của chúng ta. Tôi không rõ ràng ngay lập tức làm thế nào một người sẽ làm điều này.
- "Ví dụ, việc tìm 'điểm toricelli' của ngũ giác sẽ rút gọn vấn đề tìm cách sắp xếp 5 vectơ đơn vị sao cho tổng của chúng bằng 0 như hình bên dưới. Nói thêm, làm thế nào để tìm một cách sắp xếp như vậy thêm về 0? "
Đúng. Đối với 5 vectơ, bạn có thể dễ dàng tạo ra nhiều cách sắp xếp như vậy: cộng 2 vectơ đơn vị người ta có thể nhận được một vectơ theo hướng tùy ý có kích thước bất kỳ trong khoảng từ 0 đến 2. Bây giờ hãy lấy bất kỳ tam giác nào có một cạnh$\vec{v}$ có kích thước 1 và hai kích thước khác có kích thước từ 0 đến 2. Tạo hai cạnh "khác" này bằng cách cộng một số cặp vectơ đơn vị và cuối cùng thêm vectơ đơn vị cuối cùng bằng $\vec{v}$. Tổng của 5 vectơ sau đó là tổng của 3 vectơ tạo thành tam giác, tức là$\vec{0}$.
Bây giờ, đối với cấu hình ngẫu nhiên kiểu này, bạn sẽ không tìm thấy điểm P sao cho vectơ từ nó đến 5 đỉnh của bạn tạo ra cấu hình này. Do đó, không rõ làm thế nào để tìm "điểm Torricelli" của ngũ giác bằng phương pháp này.