Bất đẳng thức cho hàm của $\arctan(x)$

Question

Tôi muốn thể hiện điều đó $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ đang tăng lên $(0, \infty)$. Tôi có thể thấy rõ điều này bằng cách vẽ nó, nhưng tôi đang đấu tranh để viết nó ra một cách chặt chẽ. Rõ ràng là đủ để cho thấy đạo hàm của nó luôn dương trong phạm vi này (điều này cũng rõ ràng khi vẽ nó). Chúng ta có$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ vì vậy một lần nữa nó đủ để cho thấy rằng $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(và, một lần nữa, điều này rõ ràng từ âm mưu của nó). Tôi đã nhảy xuống lỗ thỏ khi lấy dẫn xuất của$g$ nữa (vì nó là $0$ tại $x = 0$ vì vậy nó sẽ đủ để cho thấy rằng $g' \ge 0$) và nó không mang lại bất cứ điều gì hữu ích ngay lập tức cho tôi. Xin hãy giúp nếu có thể

Answer 1

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ là dẫn xuất của $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ là dẫn xuất của $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

Answer 2

Cân nhắc thay $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Lưu ý rằng$g(0) = 0$, vì vậy nó đủ để hiển thị rằng $g'(x) = 0$ cho $x \ge 0$.

Hiện nay, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Do đó, nó đủ để xem xét$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ và thể hiện điều đó $h(x) \ge 0$ cho $x \ge 0$. Nhưng$h(0) = 0$và $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ cho tất cả $x$. Điều này hoàn thành bằng chứng.