Cách tiếp cận này có đúng khi tìm tập mở lớn nhất mà hàm này là phân tích

Question

Câu hỏi này là một phần trong nhiệm vụ của tôi trong phân tích phức tạp.

Tìm tập hợp mở lớn nhất trên đó $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ là phân tích.

tôi đã viết $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ và sau đó là máy tính $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Sau đó trong$F(t+h)$ tôi sẽ nhận $\mathrm{d}(t+h)$ mà tôi đặt bằng $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Vì vậy, tôi đang nhận được$3$ tích phân.

Nhưng có một sự nhầm lẫn: giới hạn của $F(t)$ Là $0$ đến $1$ kết thúc $\mathrm{d}t$ Nhưng do $\mathrm{d}(t+h)$ bên trong tích phân tôi đang nhận được giới hạn của $\mathrm{d}h$ cũng bằng $0$ đến $1$ và sau đó tôi sẽ đặt giới hạn $h \rightarrow0$.

Sau đó chỉ còn lại các phép tính. Vậy, cách làm của tôi có đúng không? Nếu không, vui lòng cho tôi biết đâu là sai lầm và đâu sẽ là cách tiếp cận đúng.

Cảm ơn!!

Answer 1

Bạn có thể sử dụng quy tắc Leibniz cho tích phân tham số: Nếu $D\subseteq\mathbb C$ đang mở, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ là liên tục, và $f_t(z):=f(t,z)$ phân tích trên $D$ cho tất cả $t\in[a,b]$, sau đó

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

phân tích trên $D$. Trong ví dụ cụ thể của bạn,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, phân tích trên $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ cho tất cả $t\in[0,1]$, từ $f_t$ phân tích ở mọi nơi ngoại trừ tại $z=-\frac{1}{t}$. Vì vậy, tích phân được đề cập là giải tích trên miền mà tôi đã đề cập, và nó không được xác định bên ngoài miền đó, vì vậy miền đó cũng là miền lớn nhất mà nó được giải tích.