Cách tính khoảng cách của $k=0$ mã ổn áp?
Đây có thể xem là phần tiếp theo cho câu hỏi " Làm thế nào để tính toán khoảng cách của mã ổn áp? ". Tóm tắt câu trả lời được chấp nhận: khoảng cách là trọng lượng tối thiểu của bộ$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ Ở đâu $S$ là nhóm chất ổn định (được tạo ra bởi $K_n$trong câu hỏi trước), và $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ là bộ chuẩn hóa của nó trong nhóm trật tự Pauli $2^{2N+1}$ (Ở đâu $N$= số qubit; sử dụng phiên bản thực của nhóm tại đây).
Câu hỏi của tôi là như sau: điều này có giữ cho $k=0$mã ổn áp? Tôi nghi ngờ rằng nó không phải lúc nào cũng giữ được nhưng không thể tìm thấy tham chiếu cho nó ... nó dường như hoạt động cho hầu hết các trường hợp, nhưng một số ví dụ bộ đếm đơn giản cũng rất dễ tìm: lấy trạng thái GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, với $K_1=X_1X_2$ và $K_2=Z_1Z_2$. Trong trường hợp này,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, vì vậy bộ $E$trống rỗng. Có điều gì đó rõ ràng đã bị phá vỡ trong quá trình này: Tôi nghĩ rằng khoảng cách nên là 2. Chuyện gì đang xảy ra ở đây?
Trả lời
Lưu ý rằng trong trường hợp $k = 0$, 'mã' của bộ ổn định là $2^0 = 1$không gian con có chiều của không gian Hilbert, có nghĩa là nó bao gồm một trạng thái ổn định duy nhất. Điều này sẽ có những tác động tiêu cực đến các tính năng như 'khoảng cách' của mã.
"Khoảng cách mã" cuối cùng được xác định theo trọng số tối thiểu của toán tử Pauli $E$ không thể 'phát hiện được' (theo ý tôi là, có thể phân biệt được với danh tính) theo các điều kiện Knill – Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ Ở đâu $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$là các trạng thái trong mã. Trong trường hợp không gian con 1 chiều, chỉ có một trạng thái duy nhất$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Vì vậy, chúng tôi sẽ lấy$j,k \in \{ 0 \}$, do đó $\delta_{j,k}$ thuật ngữ luôn bằng $1$. Nhưng điều đó có nghĩa là chỉ cần xác định$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, điều kiện Knill – Laflamme luôn được thỏa mãn. Do đó, 'khoảng cách' của mã được xác định cho một$k = 0$ mã ổn định là mức tối thiểu trên tập hợp trống.
Sử dụng cách tiếp cận ít trừu tượng hơn cho mã bộ ổn định, xem xét trọng số của các toán tử Pauli nằm trong bộ chuẩn hóa của mã, hãy nhớ rằng chúng ta đang nói về các toán tử ánh xạ không gian mã với chính nó, nhưng không tỷ lệ với thành viên của nhóm ổn định. Nhưng đối với$k = 0$ toán tử lập bản đồ trạng thái $\lvert \psi \rangle$bản thân nó nhất thiết phải tỷ lệ với chất ổn định, vì vậy không tồn tại toán tử như vậy. Một lần nữa, chúng tôi đang xem xét trọng số tối thiểu trên một tập hợp các toán tử rỗng.
Theo quy ước của bạn, có thể hợp lý khi nói về khoảng cách là vô hạn ; nhưng trong thực tế, tốt hơn là nói rằng khoảng cách là không xác định.
Trong bài báo cổ điển https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, trên trang 10, khoảng cách của một $[n,0]$mã được định nghĩa là trọng số khác 0 nhỏ nhất của bất kỳ chất ổn định nào trong mã. Giải thích vật lý cho định nghĩa này được đưa ra là, "An$[[n, 0, d]]$ mã là một trạng thái lượng tử sao cho khi bị gián đoạn $[(d − 1)/2]$ tọa độ, có thể xác định chính xác tọa độ nào đã được trang trí. "