Có thể phân loại không gian con không đóng của không gian Hilbert không?

Jan 15 2021

Để cho $H$ là không gian của Hilbert.

Được thúc đẩy bởi câu hỏi trước đây của tôi về các hàm tuyến tính không liên tục , có thể được hiểu là một nỗ lực để phân loại các siêu mặt phẳng dày đặc trong$H$, bây giờ hãy để tôi đi thẳng vào vấn đề:

Các câu hỏi .

  1. Có bất kỳ sự khác biệt đáng kể nào giữa các siêu máy bay dày đặc trong $H$?

  2. Nếu $L$$M$ là hai siêu máy bay dày đặc trong $H$, có một ánh xạ toán tử đơn nhất không $L$ đến $M$?

  3. Giả sử câu trả lời cho (2) là âm, thì có bao nhiêu quỹ đạo cho hoạt động tự nhiên của nhóm đơn nhất $\mathscr U(H)$ trên tập hợp các siêu máy bay dày đặc?


Nói về không gian con chung (không nhất thiết phải đóng hoặc dày đặc) của $H$, có một vài điều người ta có thể nói về khía cạnh đó.

Ví dụ, không phải tất cả các khoảng trắng như vậy đều có thể được mô tả là phạm vi của toán tử bị giới hạn và đặc biệt, không có siêu phẳng dày đặc nào đủ điều kiện. Điều này là do, nếu phạm vi của toán tử như vậy có đồng thứ nguyên hữu hạn, thì nó phải được đóng lại (điều này dễ hiểu từ Định lý Đồ thị Đóng).

Phạm vi của toán tử compact không chứa bất kỳ không gian con đóng chiều vô hạn nào, vì vậy đó là một thuộc tính khác mà người ta có thể sử dụng để phân loại không gian con.

Câu hỏi khác .

  1. Có điều kiện cần và đủ, được biểu thị bằng thuật ngữ tôpô / phân tích, đặc trưng cho phạm vi của toán tử bị giới hạn (tương ứng là nhỏ gọn) trong số tất cả các không gian con của $H$?

  2. Có bao nhiêu lớp tương đương đơn nhất của không gian con không đóng của $H$có ở đó không? Có bao nhiêu trong số này có thể được mô tả bằng thuật ngữ tôpô / phân tích?

Trả lời

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

Tôi đoán tôi có một câu trả lời đơn giản cho Câu hỏi 4, trong trường hợp nhỏ gọn: Một không gian con vô hạn chiều $E\subseteq H$ là phạm vi của toán tử thu gọn vì tồn tại một tập trực giao (trái ngược với trực chuẩn) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, như vậy mà $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$$$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Điều này dễ dàng tuân theo Định lý Quang phổ đối với toán tử compact và thực tế là phạm vi của toán tử compact $T$ trùng với phạm vi của $|T|$.