Đánh giá kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên

Question

Để cho $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ là các vectơ đơn nhất và độc lập tuyến tính và $X_1,...,X_n$ các biến ngẫu nhiên độc lập (trên một không gian xác suất cụ thể) sao cho mọi $X_i$ có phân phối Bernoulli của tham số $p_i \in [0,1]$.

a) Để $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, tính toán kỳ vọng của $Z$, Ở đâu $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ với $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.

b) Cho V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, hiển thị điều đó cho bất kỳ $v \in V$ tồn tại một $y \in V$ như vậy mà $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ và $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, với $b_i \in \{0,1\}$. Gợi ý: sử dụng a).

Tôi đã tìm thấy bài tập này trực tuyến và tôi đang gặp một số khó khăn khi giải quyết điểm b). Tôi đã làm xong điểm a) lựa chọn$( \mathbb{R}^n, B, P)$ dưới dạng không gian xác suất, trong đó B là Borel $\sigma $đại số và P bằng số đo tích của $X_i$các bản phân phối. Tôi thấy rằng kỳ vọng của Z là\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

Tôi muốn biết liệu giải pháp của tôi ở điểm a) có đúng không và nhận được một số lời khuyên cho điểm b).

Cảm ơn bạn

Answer 1

Tôi đoán điểm b là vấn đề chính của bài tập và nó có thể được chứng minh như sau.

a)) Để $y=\sum x_i v_i$, Ở đâu $x_i=1$ với xác suất $p_i$ và $x_i=0$ với xác suất $1- p_i$, một cách độc lập.

Sau đó

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

Vì thế $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

b)) Lựa chọn $p_i=a_i$ cho mỗi $i$, chúng tôi có được điều đó $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ bao hàm điểm b.