Đơn giản hóa $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Question

Đây là Bài tập 6 từ trang 44 của Phân tích I của Amann và Escher.

Tập thể dục:

Đơn giản hóa tổng

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

cho $m, n \in \mathbb N$.

Gợi ý: cho $1 \leq j < \ell$ chúng ta có $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

Nỗ lực của tôi:

Rất tiếc là tôi không hiểu cách sử dụng gợi ý. Tôi không thấy nó tương ứng như thế nào với biểu thức trong tổng.

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

Tại thời điểm này, tôi bị mắc kẹt. Tôi không chắc đây có phải là một ngõ cụt hay không, đặc biệt là vì tôi đã không sử dụng gợi ý. Tôi đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ nào.

Answer 1

Bắt đầu với $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ và sử dụng gợi ý với $\ell=m+n+k$ và $j=k$, chúng tôi nhận được $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$Đây là một tổng của telescoping, vì vậy nó có thể dễ dàng đánh giá. Cụ thể, để$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ thì tổng trong câu hỏi bằng $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ kính thiên văn nào $a_n-a_{-1}$.