Elementary Differential Equations, Boyce, phần 2.2, bài tập 19 (Phương trình chia được)

Question

Bài tập giải bài toán giá trị ban đầu:

$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$

Chúng tôi nhận được$\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, và từ$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$chúng tôi kết luận rằng$$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$Sau đó:$$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.

Tại sao giải pháp là$y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$và không đơn giản$y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Tôi đang làm gì sai?

Tôi sẽ cảm ơn bất kỳ sự giúp đỡ.

Answer 1

$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$

Khi bạn làm điều này, bạn đang giả định rằng$\sin(3y)$khả nghịch trong một lân cận của$\frac{ \pi}{2}$. Nhưng trong mọi quả bóng mở tập trung vào$\frac{ \pi}{2}$điểm tồn tại$a< \frac{ \pi}{2}< b$như vậy mà$\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$vì hình vuông trong$cos(x)$. Do đó, bạn phải cẩn thận khi chọn miền giải pháp của mình.

Giải pháp$y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$có giá trị khi$x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$trong khi$y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$có giá trị khi$x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.