Giải thích về suy ra công thức tính tổng của một dãy số học gồm n số hạng đầu tiên
Tôi đang cố gắng hiểu suy ra của công thức tính tổng của một dãy số học đầu tiên $n$ điều kiện.
Tôi không hiểu quy tắc hoặc lý luận nào cho phép hai chuỗi được thêm vào theo thứ tự ngược lại để loại bỏ sự khác biệt chung $d$ và đi đến kết luận rằng tổng của một dãy số học đầu tiên $n$ điều khoản là một nửa $n$nhân với tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng. Đây dường như là một cách có sẵn để loại bỏ sự khác biệt phổ biến so với sự khác biệt được mở rộng dựa trên một số kiến thức không giải thích được về$d$ và dãy số học nói chung.
Tôi đã nghiên cứu câu hỏi này trong sách giáo khoa toán học và trực tuyến và mỗi khi công thức được trình bày, tôi dường như không thể tìm ra lời giải thích tại sao một nhà toán học sẽ hiển nhiên rằng bằng cách thêm các chuỗi họ sẽ tìm ra công thức.
Bối cảnh.
Kết quả của công thức như được giải thích trong nhiều sách giáo khoa và các trang web trực tuyến như sau.
- Để tìm tổng của một dãy số học đầu tiên $n$ điều kiện $S_n$, chúng ta có thể viết ra tổng liên quan đến số hạng đầu tiên $a_1$ và sự khác biệt chung $d$.
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$
- Cũng có thể viết dãy theo thứ tự ngược lại so với số hạng cuối cùng $a_n$.
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$
- Khi chúng ta cộng các dãy số này lại với nhau, chúng ta sẽ rút ra được công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số học.
$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$
- Bởi vì có $n$ nhiều bổ sung của $(a_1 + a_n)$ tổng dài dòng được đơn giản hóa thành $n(a_1 + a_n)$ và giải quyết cho $S_n$ chúng tôi đến công thức.
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Thật không may, tôi dường như không thể tìm ra lý do trong bất kỳ giải thích nào trong số này là tại sao hai chuỗi (thứ tự bình thường và đảo ngược) được thêm vào. Tôi thấy hợp lý khi chúng được thêm vào nhưng không phải tại sao đây lại là bước hợp lý tiếp theo khi suy ra công thức.
Câu hỏi.
Tại sao hai dãy số được thêm vào để suy ra công thức và điều đó cho thấy gì về bản chất của dãy số học?
Trong nỗ lực của tôi để tìm ra điều này, tôi lưu ý rằng bằng cách nghiên cứu nhiều chuỗi, chúng ta có thể thấy rằng tỷ lệ tổng của chuỗi đối với $n$ điều kiện $S_n$ và tổng của các điều khoản đầu tiên và cuối cùng $(a_1 + a_n)$ luôn luôn $\frac{n}{2}$cho bất kỳ dãy số học nào. Vì vậy, có thể nói bằng quy nạp rằng nếu đối với bất kỳ dãy số học nào thì điều đó đúng là:
$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$
Sau đó, nó cũng phải đúng rằng:
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Tuy nhiên, đối với tôi điều này vẫn không giải thích được tại sao phép dẫn xuất quyết định thêm hai chuỗi.
Trả lời
Tính giao hoán của phép cộng cho phép bạn hoán vị tổng của hai phụ tố. Bằng cách quy nạp số lượng phụ đề, bạn có thể mở rộng điều này cho bất kỳ số lượng phụ kiện hữu hạn nào. Sự liên kết sau đó cho phép bạn nhóm chúng theo cách bạn muốn.
Nghĩ lại tổng các số tam giác. Để cộng n số đầu tiên, bạn lấy số đầu tiên và số cuối cùng và kết hợp chúng lại để được n + 1, sau đó bạn làm tương tự với số thứ hai và thứ hai đến cuối cùng để được n + 1. Để có cái nhìn trực quan về quá trình này, hãy xemhttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Ở đây trong câu hỏi của bạn, hình tam giác của bạn hơi lệch và không đi đến điểm nào, nhưng ý tưởng vẫn giữ nguyên :).