Gradient của một hàm lồi là liên tục bên trong miền của nó

Question

Cho một hàm lồi, bán liên tục dưới và hàm thích hợp $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ có thể phân biệt được trên miền của nó, có đúng là gradient của nó $\nabla f$ liên tục ở bên trong miền của $f$? Đây tôi đang lấy$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Điều tôi nghĩ ra là cho một chức năng như vậy$f$, nó phải là sự thật rằng $f$là liên tục cục bộ Lipschitz trên miền của nó và sau đó theo định lý Rademacher, nó có thể phân biệt cục bộ ae. Tuy nhiên, điều này không đạt được những gì tôi muốn. Bất cứ ai có một bằng chứng hoặc ví dụ phản đối?

Chỉnh sửa: đây là hệ quả 9,20 trong Rockafellar và Wets, vì nó hóa ra.

Answer 1

Không mất tính tổng quát, đủ để chứng minh $\nabla f$ liên tục lúc $x = 0$ khi nào $\nabla f(0) = 0$. Giả sử$x_n \to 0$ có phải như vậy không $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Được$\epsilon>0$ như vậy mà $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, chọn $n$ vậy nên $x_n \in B(0,\epsilon)$ và $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Chúng tôi biết có tồn tại$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, như vậy mà $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (nghĩa là chọn $y$ theo hướng dẫn của $\nabla f(x_n)$ gần với $x_n$). Đối với$t \in \mathbb R$, để cho $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Theo độ lồi, hãy xem điều đó cho$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ đó là $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Chọn $t = \epsilon / |x_n - y|$. Lưu ý rằng$|z_t| < 2 \epsilon$. Sau đó$$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Điều này mâu thuẫn với $\nabla f(0) = 0$.

Answer 2

Tôi đang cập nhật bài đăng này với câu hỏi tiếp theo: Nếu $f$ là một hàm lồi được xác định trên một tập lồi nào đó $E\subseteq \mathbb R^n$ và nếu nó có thể phân biệt được trên $E$, có đúng là gradient của nó phải liên tục $E$ (và không chỉ trong nội thất)?