Hiển thị kỳ vọng tối thiểu của martingale đã dừng là $-\infty$
Xem xét martingale đi bộ ngẫu nhiên $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ Ở đâu $X_k$ được giới hạn thống nhất, iid với $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Để cho$a>0$ và thiết lập $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Cho thấy$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.
Tôi đang nghĩ đến việc xác định $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ và sử dụng martingale $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Sau đó chúng ta sẽ nhận được (sử dụng MCT và giới hạn và$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Điều này nghĩa là$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Tôi không chắc chắn làm thế nào để tiếp tục từ đây.
Trả lời
Còn cái này thì sao?
Bất cứ gì $N < \infty$, theo định lý lấy mẫu tùy chọn, chúng ta có $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. Và$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ như $N, k \to \infty$.
Vì thế $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ hội tụ thành một số âm dưới dạng $N,k \to \infty$.
Để cho $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Hiện nay$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Nếu$E(U) > -\infty$, sau đó $E(U I_{U < -k}) \to 0$ như $k \to \infty$, đó là một mâu thuẫn.