Khai triển Laurent của căn bậc hai

Question

Tôi có hai vấn đề sau đây:

(a) Chứng minh rằng $(z^2 - 1)^{-1}$ có căn bậc hai giải tích trong $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Tìm khai triển Laurent của căn bậc hai giải tích từ phần (a) trên một miền $\{a: |z| > 1 \}$, tập trung tại $z = 0$.

Đối với phần (a), tôi lưu ý rằng sự biến đổi mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ lập bản đồ $\mathbb{C} - [-1,1]$ trên $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Từ$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ được kết nối đơn giản và $F$ nonzero đang bật $\mathbb{C} - [-1,1]$, chúng ta có thể xác định một nhánh phân tích có giá trị duy nhất của $\sqrt{F(z)}$ trên $\mathbb{C} - [-1,1]$. Sau đó, bằng một tính toán nhanh

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

là một căn bậc hai giải tích của $(z^2 - 1)^{-1}$ trong $\mathbb{C} - [-1,1]$.

Tuy nhiên, tôi không biết làm thế nào để đi về phần (b). Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Answer 1

Bởi một phần $(a)$ bởi vì $|z|>1$, nếu $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ chúng ta có thể sử dụng nhánh chính của lôgarit và chọn $\sqrt {w^2}=w.$ Sau đó, với $Z=1/z^2$ và lưu ý rằng định lý nhị thức có giá trị đối với $|z|>1,$ chúng tôi tính toán

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

Nếu $\theta$ nằm trên trục thực âm, sau đó chọn hình cắt nhánh cho phù hợp và lặp lại phép tính trên cho $0<\theta<2\pi$.

Tôi cũng nghĩ rằng chúng ta có thể nhận được $(a)$bằng phương tiện sơ đẳng. Theo định nghĩa, chúng tôi có

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Hàm này có các điểm nhánh tại$1$ và $-1$ nhưng không $\infty$ vì vậy chúng tôi có thể triển khai sơ đồ

cài đặt $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ và $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ và $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

và chứng minh phân tích bằng tính toán trực tiếp.