Lấy mẫu độc lập các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Question

Để cho $x_1, \ldots, x_n$có thể là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc , mỗi biến nhận giá trị$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Giả sử thêm rằng trong mọi kết quả, số biến ngẫu nhiên bằng 2 chính xác là 1. Bây giờ cho mỗi$i \in \{1, \ldots, n\}$ định nghĩa $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ và cho mỗi $i \in \{1, \ldots, n\}$ để cho $y_i$ là một biến ngẫu nhiên Bernoulli là 1 độc lập với xác suất $f_i$ và 0 nếu không.

Phỏng đoán sau đây có chính xác không hay có sự phân bổ trên $x_i$đang bác bỏ nó?

Phỏng đoán: Có một cố định$\epsilon > 0$ (I E $\epsilon$ độc lập với $n$) sao cho với xác suất ít nhất $\epsilon$, có chính xác một chỉ mục $i$ Ở đâu $y_i = 1$.

Câu hỏi liên quan: Giới hạn phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Answer 1

Câu trả lời là "không" (nếu tôi hiểu đúng câu hỏi).

Hãy xem xét sự phân phối chung có thể trao đổi sau đây của $x_i$S. Vào sự kiện$A$, xảy ra với xác suất $1/\sqrt n$, tất cả $x_i$s là 1, cũ cho một 2. Trong trường hợp bổ sung $B$, tất cả $x_i$s là 0 cũ cho một 2.

Theo phân phối này, $f_i$ là 0 hoặc $1/\sqrt n$. Để cho$Y=\sum y_i$. Từ$E[ Y|A]=\sqrt n$và $E[Y|B]=1/\sqrt n$, trong cả hai trường hợp, nó quá xa 1; do đó xác suất là có một$b_i$ đang biến mất.