Nếu $X = \{ |p(z)|<c\}$, cho thấy rằng ranh giới của $X$ Là $\{ |p(z)| = c\}$ và mỗi thành phần của $X$ chứa số 0 trong số $p$.

Question

Tôi đang thử các vấn đề trong phân tích phức tạp của một viện mà tôi không học và tôi đã gặp phải vấn đề cụ thể này.

Để cho $p$ là một đa thức không hằng số, $c>0$ và $X=\{z:p(z)<c\}$. Chứng minh rằng$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ và mỗi thành phần được kết nối của $X$ chứa số 0 $p$.

Cố gắng: Hãy $C$ được kết nối thành phần của $X$. Sau đó$\partial C$ là một tập hợp con của $\partial X$ và vì thế $|p(z)| \leq c$. Nhưng tôi không thể nghĩ bất kỳ lập luận nào khác ngoài điều này.

Vì vậy, vui lòng làm sáng tỏ cách tiếp cận vấn đề này.

Answer 1

Thuộc tính đơn giản của $p$:

i) Kể từ $p$ là một đa thức không thay đổi, $p$nhận mọi giá trị phức tạp. Do đó các bộ$X=\{|p|<c\}$ và $\{|p|=c\}$ không ai cả.

ii) Bộ $X$ được mở ra bởi sự liên tục của $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ như $|z|\to\infty.$

Từ iii) nó theo sau đó $X$bị ràng buộc. Nếu không thì$X$ sẽ chứa một chuỗi $z_n$ như vậy mà $|z_n|\to \infty,$ vì thế $|p(z_n)|\to \infty,$ vi phạm định nghĩa của $X.$

Để cho $z\in \partial X.$ Sau đó $z$ là giới hạn của một chuỗi trong $X.$ Điều này nghĩa là $|p(z)|\le c.$ Có thể $|p(z)|<c$xảy ra? Không, bởi vì sau đó$z\in X$và nó không thể là một điểm ranh giới. Nó theo sau đó$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Bây giờ giả sử $|p(z)|=c.$ Để cho $r>0.$ Sau đó $p(D(z,r))$ được mở bởi định lý ánh xạ mở, do đó chứa các điểm có mô đun nhỏ hơn $c$ và điểm của mô đun lớn hơn $c.$ Như vậy $D(z,r)\cap X$ và $D(z,r)\cap X^c$cả hai đều không ai cả. Từ$r$ là tùy ý, $z\in \partial X.$ Điều này với đoạn cuối cùng chứng minh $\partial X = \{|p|=c\}.$

Nhắc lại định lý môđun cực đại: Giả sử $U$là một tập hợp được kết nối mở có giới hạn. Để cho$f$ liên tục trên $\overline U$ và holomorphic trên $U.$ Nếu tối đa của $|f|$ xảy ra trong $U,$ sau đó $f$ là hằng số.

Vì vậy, bây giờ hãy $C$ là một thành phần kết nối của $X.$ Chúng tôi biết $\partial C \subset \partial X,$ ngụ ý $|p|=c$ trên $\partial C.$ Và tất nhiên $|p|<c$ trong $C.$

Giả định $C$ không chứa số 0 của $p.$ Sau đó $p$ nonzero đang bật $\overline C,$một bộ nhỏ gọn. Như vậy$|p|$ đạt được mức tối thiểu dương ở một số $z_0 \in \overline C.$ Bởi MMT, $z_0\in C.$ Nhưng hãy để ý $1/p$thỏa mãn các giả thuyết của MMT. Do đó, sử dụng lại MMT,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

Từ $|p(z_0|<c,$ chúng tôi có một mâu thuẫn, và chúng tôi đã hoàn thành.