Nhóm Fuchsian chi tích cực
Để cho $G$ là một mạng tinh thể trong $SL(2,\mathbb{R})$. Có phải luôn luôn đúng rằng tồn tại một nhóm con chỉ mục hữu hạn$F$ của $G$ sao cho bề mặt thương số $\mathbb{H}/F$có dương chi? Liệu tuyên bố có đúng với một số giả định đủ chung không? Xin vui lòng bạn có thể thêm một tài liệu tham khảo?
Trả lời
Đúng, điều này đúng, nhưng việc chứng minh điều này dễ hơn việc tìm kiếm tài liệu tham khảo.
Mọi nhóm ma trận được tạo hữu hạn (ví dụ: một mạng tinh thể trong $PSL(2, {\mathbb R})$chứa một nhóm con không có xoắn. Kết quả chung là do Selberg, nhưng đối với các nhóm con rời rạc của$PSL(2, {\mathbb R})$ nó chắc chắn đã được biết trước đó.
Theo quan điểm của 1, nó đủ để chứng minh rằng mọi bề mặt $S$ homeomorphic cho hình cầu 2 chiều với $n\ge 3$ lỗ thủng thừa nhận một lớp phủ hữu hạn $S'\to S$ như vậy mà $S'$có dương chi. Đầu tiên giả sử rằng$n$là số lẻ. Các lỗ thủng xung quanh$p_i$ bằng các vòng nhỏ $c_i$. Tôi sẽ nghĩ về những điều này như các yếu tố của$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Bây giờ, hãy xem xét phép đồng cấu$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ trong đó mũi tên đầu tiên là Hurewicz và mũi tên thứ hai gửi $[c_1], [c_2]$ đến $1$ và phần còn lại của $[c_i]$là để $0$. Lấy bìa gấp 2 lần$S_1\to S$ tương ứng với hạt nhân của $\alpha$. Sau đó$S_1$ Là $2+ 2(n-2)$-lúc thủng hình cầu. Như vậy, bài toán được rút gọn thành trường hợp quả cầu có số lỗ thủng là chẵn.
Để cho $S$ là $S^2$ với $n=2k\ge 4$vết thủng. Tương tự như (2), xác định phép đồng cấu$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
nơi mũi tên thứ hai gửi tất cả $[c]_i$của phần tử khác không của ${\mathbb Z}_2$. Để cho$S'\to S$ biểu thị lớp phủ 2 lần tương ứng với hạt nhân của $\beta$. Sau đó$S'$ sẽ có $2k$ lỗ thủng và chi $k-1>0$. (Đây là một bài tập về cấu trúc liên kết của các bề mặt. Phần mở rộng tự nhiên của$S'\to S$đến một lớp phủ được chia nhỏ của các bề mặt nhỏ gọn được gọi là bản đồ phủ hình hyperelliptic .)
Biên tập. 1. Nếu bạn muốn tham chiếu, kết quả tối ưu là
Edmonds, Allan L.; Ewing, John H.; Kulkarni, Ravi S. , Các phân nhóm tự do xoắn của các nhóm Fuchsian và các lớp phủ bề mặt , Invent. Môn Toán. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
Nó có thể được phát biểu là: Giả sử rằng $F_1, F_2$ có mạng trong $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Sau đó$F_2$ nhúng vào $F_1$ (như một nhóm trừu tượng) với chỉ mục $k$nếu và chỉ khi điều kiện Riemann-Hurwitz được thỏa mãn:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Một khi bạn làm sáng tỏ các định nghĩa, nó ngụ ý câu trả lời tích cực cho câu hỏi chi tích cực.
- Để áp dụng kết quả của họ, người ta cần biết (và họ coi đó là điều hiển nhiên) rằng mọi mạng tinh thể trong $G$ có bài thuyết trình $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Bài thuyết trình này có thể tìm thấy trong các bài báo của Poincare về các chức năng của Fuchsian. Thật khó để biết liệu anh ta có thực sự có bằng chứng hay không (điều này áp dụng cho hầu hết mọi thứ được viết bởi Poincare mà tôi đã cố gắng đọc, nhưng những người khác có thể không đồng ý), nhưng anh ta có một công cụ để chứng minh kết quả, đó là các miền cơ bản lồi. Một bằng chứng chắc chắn hơn có thể được tìm thấy trong các bài báo của Dehn (tôi đã không thử). Tài liệu tham khảo về chất rắn sớm nhất mà tôi biết về sự tồn tại của một tổ hợp tạo hữu hạn cho mạng lưới$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ Là
Siegel, Carl Ludwig , Một số nhận xét về các nhóm không liên tục , Ann. Môn Toán. (2) 46, 708-718 (năm 1945). ZBL0061.04505 .
Không có gì đáng ngạc nhiên, Siegel sử dụng các đa giác cơ bản để chứng minh kết quả: Ông chứng minh sự tồn tại của một đa giác cơ bản có cạnh hữu hạn và kết quả là, đã kết luận một giới hạn trên rõ ràng về số lượng trình tạo về diện tích của thương số ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Định lý hữu hạn này có tính tổng quát lớn hơn nhiều, đối với các mạng trong các nhóm Lie được kết nối, nhưng đây là một câu chuyện khác (cũng có lịch sử phức tạp đến mức không rõ ai là người có công với kết quả này, rõ ràng là cơ bản,). Một điều mà tôi không chắc là:
Mặc dù sự tồn tại của các bộ tạo hữu hạn cho các mạng trong các nhóm Lie được kết nối đã được biết đến, nhưng tôi không biết tham chiếu chắc chắn đến giới hạn trên rõ ràng về số lượng bộ tạo về thể tích của thương số (trong trường hợp không xoắn) .
- Về "Giả thuyết của Fenchel" rằng mỗi mạng tinh thể trong $G=PSL(2, {\mathbb R})$chứa một nhóm con không xoắn của chỉ số hữu hạn: Câu chuyện hơi kỳ lạ. Khi phỏng đoán lần đầu tiên được đưa ra là khó / không thể nói. Nó được đề cập trong bài báo của Nielsen
J. Nielsen, Kommutatorgruppen dành cho det fferfomerf cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), trang 49-56.
Bài báo của Nielsen, đáng chú ý, không có bất kỳ tài liệu tham khảo nào.
Tuy nhiên, vào thời điểm xuất hiện bài báo của Nielsen, phỏng đoán của Fenchel đã được chứng minh. Bằng chứng chủ yếu có trong:
Mal'tsev, AI , Về sự đại diện trung thực của các nhóm vô hạn bằng ma trận , Am. Môn Toán. Soc., Bản dịch., II. Người phục vụ. 45, 1-18 (1965); bản dịch từ Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
Bây giờ, mỗi mạng tinh thể $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ được tạo ra hoàn toàn và chỉ chứa rất nhiều $\Gamma$-conjugacy lớp của các phần tử thứ tự hữu hạn. (Điều này, ít nhất, xuất phát từ định lý Siegel về đa giác cơ bản, như tôi đã nói, có thể đã được Poincare biết đến.) Định lý Mal'tsev ngụ ý rằng nếu$\Gamma$ là một nhóm ma trận được tạo hữu hạn, sau đó đối với mọi tập hợp hữu hạn của $\Gamma$-conjugacy lớp $C_1,...,C_k$, tồn tại một nhóm con chỉ mục hữu hạn $\Gamma'< \Gamma$ rời khỏi $C_1,...,C_k$. Bằng cách kết hợp hai kết quả, mọi mạng tinh thể trong$G=PSL(2, {\mathbb R})$ chứa một nhóm con không xoắn của chỉ mục hữu hạn.
Một giải pháp hoàn chỉnh cho phỏng đoán của Fenchel đã được Fox tuyên bố trong
Fox, Ralph H. , Theo phỏng đoán của Fenchel về nhóm (F), Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
người rõ ràng là không biết về bài báo của Mal'tsev. Giải pháp của Fox hóa ra có một phần sai sót, với một lỗi (trong một số trường hợp) đã được sửa trong:
Chau, TC , Một ghi chú liên quan đến bài báo của Fox về phỏng đoán của Fenchel , Proc. Là. Môn Toán. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
Vào thời điểm đó (23 năm trước đó), Selberg đã chứng minh một kết quả tổng quát hơn trong:
Selberg, Atle , Trên các nhóm không liên tục trong không gian đối xứng chiều cao hơn, Contrib. Lý thuyết chức năng, Int. Colloqu. Bombay, tháng 1 năm 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg đã chứng minh rằng mỗi nhóm ma trận được tạo hữu hạn chứa một nhóm con không xoắn của chỉ số hữu hạn. Selberg cũng không biết về bài báo của Mal'tsev nhưng, ít nhất thì anh ta không phản đối một thứ gì đó đã có ở đó. Vấn đề là một nhóm ma trận được tạo ra$\Gamma$ có thể có vô số $\Gamma$-conjugacy lớp của nhóm con hữu hạn, do đó, người ta không thể áp dụng kết quả của Mal'tsev một cách đơn giản.
Một nhận xét về Bước (1) trong chứng minh của Moishe Kohan. Bài toán này (tìm một chỉ số hữu hạn, nhóm con không có xoắn của một mạng tinh thể trong$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) được gọi là "Fenchel's Conjecture". Nó đã được giải quyết bởi Ralph H. Fox. Xem bài báo của anh ấy:
Trên Phỏng đoán của Fenchel về F-Groups
và công việc sau đó (đối với các bằng chứng khác và để sửa chữa cho công việc trước đó).