Sự tích hợp kết thúc ở đâu?

Question

tôi mới làm quen với tích phân. Tôi đang giải quyết$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ nhưng tôi nhận được một câu trả lời sai: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Câu trả lời đúng phải là: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Đây là lần thử đầy đủ của tôi: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Bạn có thể sửa cho tôi và cho tôi một số nguồn để rút kinh nghiệm?

Cảm ơn trước!

Answer 1

Bạn đã đúng tất cả cho đến khi (và bao gồm) bước:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Bạn đang áp dụng sai sự thật rằng

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Chú ý nó phải ${1+x^2}$- không phải ${1+ax^2}$. Thay vào đó, bạn nên thực hiện thay thế${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ để có được

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Theo yêu cầu.

Answer 2

Được, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Chúng ta biết rằng,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Vì thế,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ Đây,$a=1$ và $u=\frac{x}{\sqrt3}$ và $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

I E, $dx={\sqrt3}du$

Vì vậy, câu trả lời mong muốn của chúng tôi là,

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Cắm sự thay thế của chúng tôi trở lại vào sản lượng tích phân

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Vì vậy, chúng tôi bây giờ còn lại với

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Vì đây là một tích phân không xác định, chúng ta phải viết câu trả lời của chúng ta dưới dạng x. Nhìn lại sự thay thế của chúng tôi và sắp xếp lại cho theta, chúng tôi đi đến câu trả lời cuối cùng của chúng tôi:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Vấn đề của bạn nằm ở sự bình đẳng cuối cùng. Nếu$F(x)$ là nguyên thủy của $f(x)$, và nếu $c\ne0$, sau đó là một nguyên thủy của $f(cx)$ sẽ là $\frac1cF(cx)$. Vì vậy kể từ$\arctan(x)$ là nguyên thủy của $\frac1{1+x^2}$, một nguyên thủy của $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ sẽ là $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Người thay thế $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$