Tích hợp đường viền $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Question

Tôi muốn hòa nhập $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ Ở đâu $m$ là một số nguyên.

Dường như có những điểm kỳ dị cả thực $x = \frac{n\pi}{a}$ và tưởng tượng $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

Điều này dường như cho thấy tích hợp đường viền là cách để đi.

Bây giờ tôi không chắc chắn làm thế nào để tiếp tục từ đây.

Answer 1

Đối với $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, vì vậy tích phân đã cho là tổng của những thứ như $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ ở đâu, cho một khu phức hợp $z$ với $\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ với $\psi$các chức năng digamma (sự bình đẳng thức được hiển thị như nó được thực hiện ở đây ). Nếu chúng ta có sin thay cho cosin trong$\eqref{mainint}$, các $\psi$sẽ giảm vì công thức phản chiếu . Với cosine tại chỗ, những điều này không xảy ra, cũng như trong kết quả cuối cùng. Đó là lý do tại sao tôi không mong đợi tích hợp đường viền mang lại bất kỳ điều gì hữu ích.