Tìm giao điểm giữa hai mặt phẳng

Question

Khi làm bài tập tìm đường thẳng nằm giữa hai giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng ta yêu cầu tìm một điểm và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vectơ hướng rất dễ dàng vì nó vuông góc với cả hai chuẩn, nhưng tôi hơi bối rối về cách lấy điểm.

Giả sử, chúng ta đã cho phương trình của hai mặt phẳng,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

Và,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Để tìm một điểm dọc theo đường giao nhau, người ta thường hướng dẫn đặt một trong các tọa độ là 0, chẳng hạn $x, y$ hoặc là $z$và sau đó giải cho các tọa độ còn lại. Nhưng, tôi không chắc tại sao chúng tôi làm điều này, vì làm thế nào chúng tôi biết rằng đường giao nhau giữa hai đường luôn cần phải có$x$ , $y$ và $z$ chặn?

Tôi đã xem bài đăng này nhưng không nghĩ rằng nó giải quyết được truy vấn của tôi và cũng không được giải quyết trong bài đăng này

Answer 1

Giả sử rằng $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Sau đó, bạn có thể định dạng lại vấn đề như sau:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ và giải quyết cho $x$ và $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Điều này cho thấy rằng đối với bất kỳ $z=t\in{\Bbb R}$ bạn nhận được một giải pháp duy nhất cho $x$ và $y$. Điều gì xảy ra ở đây là giao tuyến của hai mặt phẳng$P_1,P_2$ với máy bay $z-t=0$ cung cấp hai đường thẳng không song song (vì định thức AB khác không) trong $x-y$máy bay. Do đó hai đường này có một giao điểm duy nhất.

Bây giờ, khi định thức AB của bạn ở trên bằng 0 (vì vậy hai dòng của bạn trong $x-y$ mặt phẳng song song) thì bạn có thể tìm một khác 0 $B-C$ ma trận (và giải quyết cho $y,z$) hoặc khác 0 $C-A$ ma trận (và giải quyết cho $z,x$). Nếu tất cả các định thức này bằng 0 thì trên thực tế, hai mặt phẳng ban đầu của bạn song song nên giao tuyến trống hoặc nó là một mặt phẳng.

Lưu ý rằng ba yếu tố quyết định bạn tính trên thực tế là thành phần của tích chéo của các vectơ thông thường cho các mặt phẳng, vì vậy tích chéo không biến mất thực sự là điều kiện để giao tuyến là một đường.

Answer 2

Người ta có thể giải quyết những câu hỏi như vậy bằng cách giả sử bất kỳ $(x,y,z)$bằng 0 hoặc giữ một như một hằng số. Trực giác đằng sau việc giữ một trong số chúng bằng 0 là, hầu hết các trường hợp đường thẳng chúng ta nhận được không song song với một mặt phẳng nên chúng chắc chắn phải cắt nhau.

Khi nó không phải là trường hợp như vậy, việc giữ biến số 0 sẽ tạo ra cặp phương trình tuyến tính không nhất quán.