Ý nghĩa của “do tính đối xứng của các hệ số, nếu $x=r$ là số 0 của $x^4+x^3+x^2+x+1$ sau đó $x=\frac1r$ cũng là một con số không ”

Question

Tôi đang nghiên cứu câu trả lời này về bao thanh toán $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

Tác giả nói: "Một cách tiếp cận đại số rõ ràng hơn là nhận thấy rằng do tính đối xứng của các hệ số, nếu $x=r$ là số 0 của $x^4+x^3+x^2+x+1$ sau đó $x= {1\over r}$ cũng là một con số không "

Và cuối cùng anh ấy viết $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Câu hỏi $1$: Ý nghĩa của tính đối xứng của các hệ số?

Câu hỏi $2$: Chúng ta có thể thực hiện cách tiếp cận tương tự đối với $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Tôi hỏi vì nó có liên quan đến câu hỏi khác của tôi:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

Danh sách các hệ số của$$x^4+x^3+x^2+x+1$$Là $(1,1,1,1,1)$, là đối xứng (nếu bạn đảo ngược nó, bạn sẽ nhận được cùng một danh sách). Nói cách khác, nó là một danh sách của loại$(a,b,c,b,a)$. Và nếu$r(\ne0)$ là một gốc của$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$sau đó$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$và do đó$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$quá; nói cách khác,$\frac1r$ cũng là một gốc của $(1)$. Vì vậy, trừ khi một trong những gốc rễ là$\pm1$ (là những số duy nhất bằng số nghịch đảo của chính chúng), $(1)$có thể được viết là \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ kết thúc {multline}

Đặc biệt, $x^4-x^3+x^2-x+1$ có thể được viết như$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Nhằm mục đích tìm ra $a$ và $b$, giải quyết hệ thống$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Để trả lời câu hỏi ban đầu, quá trình suy nghĩ diễn ra như sau:

(1) Nếu $r$ là một giải pháp cho $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, sau đó $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Chia cả hai bên cho $r^4$ bạn lấy $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. vì thế$1\over r$ cũng là một giải pháp.

(3) Do đó nếu $(x-r)$ là một nhân tử của đa thức thì $(x-{1\over r})$ cũng là một yếu tố.

(4) Do đó phương trình có thể được viết dưới dạng $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Do đó nó có thể được viết là $(x+ax+1)(x+bx+1)$