Cho thấy $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ bị giới hạn, đơn điệu và tìm giới hạn của nó

Question

Chứng minh rằng $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$là giới hạn và đơn điệu. Sau đó tìm giới hạn của nó.

Nỗ lực của tôi về giới hạn:

(Sử dụng cảm ứng) Đối với trường hợp cơ sở, chúng tôi có $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Giả sử rằng trình tự được giới hạn cho$n = k$. Sau đó,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}

Tôi bị loại bỏ bởi kỳ hạn $x_{n + 2}$ trong công thức đệ quy và tôi không thể thấy đại số để tạo ra các bước trên mà không nhận được $x_{n + 2}$ trong biểu thức của giới hạn trên / dưới.

Cảm ơn bạn.

Cập nhật:

Tôi đã thêm điều này để chứng minh:

Chúng ta có $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ và $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Giả sử rằng trình tự được giới hạn cho$k+1$,

\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}

Do đó, theo nguyên tắc quy nạp toán học, dãy có giới hạn.

Điều này có hợp lệ không?

Answer 1

Quan sát điều đó $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Chúng tôi có thể chứng minh bằng cách quy nạp rằng$x_n <2$ cho tất cả $n$. Giả sử rằng bất đẳng thức đúng với$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Sau đó$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Bây giờ chúng tôi cho thấy rằng chuỗi đang tăng đơn điệu. Giả sử rằng$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ giữ cho một số $n\geq 2$. Sau đó$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Như vậy $x_n$được giới hạn từ phía trên và tăng lên, do đó nó là hội tụ. Giới hạn của nó$x$ phải đáp ứng $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ tức là, chúng ta phải có $x=2$.

Answer 2

Không, lập luận của bạn không hợp lệ. Bạn cho thấy điều đó

$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$

Nếu bạn áp dụng quy nạp, điều này dẫn đến

$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ mà không bị giới hạn.

---

Nhưng bạn có thể sử dụng

$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$

Answer 3

Đối với giới hạn, chúng tôi sử dụng Cảm ứng mạnh, việc chuỗi là số dương. Chúng tôi muốn thể hiện điều đó cho tất cả$n \in \mathbb{N}$ chúng ta có $x_{n} < 2$

1. Với k = 1, chúng ta có: $x_{1} = 0 < 2$
2. Để cho $n \in \mathbb{N}$ và giả sử điều đó cho tất cả $k \leq n$ chúng ta có: $x_{k} < 2$
3. Chúng ta có: $x_{n-1} < 2$ và $x_{n} < 2$
   Sau đó: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
   Vì thế: $x_{n+1} < 2$

Đối với tính đơn điệu, Hãy sử dụng lại quy trình quy nạp để chứng minh rằng tất cả $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$

1. Với n = 1, rõ ràng là $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ từ $x_{1} = 0$
2. Để cho $n \geq 2$ và giả sử điều đó cho tất cả $k \leq n$ chúng ta có: $x_{k+1} \geq x_{k}$
   Chúng ta có: $x_{n} \geq x_{n-1}$ và $x_{n+1} \geq x_{n}$
   Vì thế: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
   Như vậy: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
   

Chúng tôi kết luận rằng chuỗi đang tăng và do đó nó là đơn điệu, Và vì nó bị giới hạn nên chuỗi hội tụ. Để cho$L$ là giới hạn của dãy, sau đó $L$ là giải pháp cho phương trình $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, mang lại điều đó $L = 2$